• Merhaba Ziyaretçi.
    "Güzel söz"
    konulu yarışma başladı. İlgili konuya BURADAN ulaşabilirsiniz. Sizi de bu yarışmada oy kullanmaya bekliyoruz...
  • Merhaba Ziyaretçi.
    Artık kazanılan ÇTL miktarları istenildiğinde TL ile değiştirilebiliyor. Konu ile ilgili detaylara BURADAN ulaşabilirsiniz.

Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatım

BeReNN

Alyam?
Özel üye
[h=2]kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatım - Kontür İntegrali[/h]

Karmaşık analizde kontür integrali veya kontür integrali almak karmaşık düzlemdeki yollar boyunca belli integralleri bulmak için kullanılan bir yöntemdir.

Kontür integralinin karmaşık analizin bir metodu olan kalıntı hesabıyla yakın bir ilişkisi vardır.

Kontür integrallerinin bir kullanımı da halihazırdaki gerçel değişken yöntemleriyle bulunamayan gerçel eksendeki integralleri bulmaktır.

Kontür integrali yöntemleri şunları içerir:

Karmaşık değerli bir fonksiyonun karmaşık düzlemdeki bir eğri (kontür) boyunca integralinin dolaysız bulunması
Cauchy integral formülünün uygulanması
Kalıntı teoreminin uygulanması

Bu integralleri veya toplamları bulmak amacıyla, bir yöntem veya bu yöntemlerin bir kombinasyonu veya çeşitli limit alma süreçleri kullanılabilir.

Dolaysız yöntemler


Dolaysız yöntemler, integralin, çok değişkenli hesaptaki integralleri hesaplamaya yarayan yöntemlere benzer yöntemlerle hesaplanmasını içerir. Bu da şu yöntemleri kullanmamız anlamına gelmektedir:

Kontürü parametrize etme (parametrizasyon)
Kontür gerçel değişkenli, karmaşık değerli, türevlenebilir bir fonksiyon tarafından parametrize edilir veya kontür parçalara bölünüp ayrı ayrı parametrize edilir.
Parametrizasyonun integrand içine konulması
Parametrizasyonun integrand içine konulması integrali bir gerçel değişkenli integrale dönüştürecektir.
İntegral gerçel değişkenli integralde kullanılan yönteme benzer bir metodla bulunur.

Örnek

Karmaşık analizdeki temel sonuçlardan birisi de z-1 in birim çember C etrafındaki (veya 0 etrafındaki herhangi bir Jordan eğrisi boyunca) integralinin 2πi olmasıdır. Şimdi

2c2518fb568dd5d219856479d416da4b.png


integralini bulalım.

Bu integrali bulmak için, kontür olarak γ(t) = eit, t ∈ [0, 2π] ile parametrize edebileceğimiz |z| = 1 birim çemberini kullanıyoruz. γ'(t) = ieit olduğunu gözlemleyip, bunu da z için yerine koyarsak

bca4d659a61470be9c54db78ad708469.png


elde ederiz ki bu da integralin değeridir.

İntegral teoremlerinin uygulanması


İntegral teoremlerinin uygulanması genelde kontür integrallerini bir kontür boyunca bulmak için kullanılır. Bu da gerçel değerli integralin hesaplanmasının bir kontür integralini hesaplamayla aynı zamanda yapıldığı anlamına gelir.

Cauchy integral teoremi veya kalıntı teoremi gibi integral teoremler, genellikle şu yöntemde kullanılır:

Belli bir kontür seçilir:

Kontür seçilir. Öyle ki, kontür karmaşık düzlemin gerçel değerli integrali tanımlayan bir parçasını takip eder ve ayrıca integrandın da tekilliklerini içerir. Böylece, Cauchy integral formülü veya kalıntı teoreminin kullanımı mümkün olur.

Cauchy-Goursat teoreminin uygulanması

İntegral her kutup etrafındaki küçük bir çember etrafında alınan bir integral haline gelir.

Cauchy integral teoremi veya kalıntı teoreminin uygulanması

Bu integral formülünün uygulanması kontürün tümü üzerindeki integralin değerini verir.

Kontürün gerçel ve sanal kısımları olan başka bir kontüre bölünmesi.

Tüm kontür karmaşık düzlemin parçasını takip eden bir integrale bölünür ki bu kontür de daha önce seçilmiş gerçel değerli integrali (buna R diyelim) ve karmaşık düzlemi kesen integrali (buna da I diyelim) açıklar. Tüm kontür üzerinde alınan integral bu parçalanmış her kontür üzerindeki integrallerin bir toplamıdır.

Karmaşık düzlemi kesen integralin gösteriminin toplamda bir rolü yoktur.

Eğer I integralinin sıfır olduğu gösterilebilirse veya aranan gerçek değerli integral düzensiz integral ise ve sonra yukarıdaki gibi açıklanan I integralinin 0'a gittiğini gösterebilirsek, R boyuncaki integral R+I kontürü boyuncaki integrale gidecektir.

Sonuç

Yukarıdaki adımı gösterebilirsek, o zaman R 'yi, gerçel değerli integrali, dolaysız bir şekilde hesaplayabiliriz.

Örnek (I)


bd6fe394e4342c58afb3c1f498615414.png


integralini ele alalım.

200px-ContourDiagram.png


Bu integrali bulmak için karmaşık değerli, i ve -i noktalarında tekillikleri olan

3036302fac7337edd75d9cee9c4244c6.png


fonksiyonuna bakıyoruz. Bununla birlikte, gerçel değerli integrali çevreleyecek kontürü de seçmek istiyoruz; böylece solda gösterilen ve uzattığımızda tüm gerçel ekseni içerecek (a sonsuza gidecek) yarım çemberi seçiyoruz. Bu kontüre C diyelim.

Şimdi, ilerlemek için kullanabileceğimiz iki adım var: Cauchy integral formülü veya kalıntılar yöntemi.
  • Cauchy integral teoreminin kullanılması
f31a3a7d12d50f95b8a45e35c0dcd46e.png


olduğunu gözlemleyelim. Kontür içindeki tek tekilli i 'deki tekillik olduğu için,

2c4ef5cf4d40d003e749715d3efca318.png
 

BeReNN

Alyam?
Özel üye
yazabiliriz ki bu da fonksiyonu formülü dolaysız bir şekilde uygulayacak biçime getirir. O zaman Cauchy integral formülü ile

d59db966e7554d0f391ec8bd100eae9c.png
b05da4175717f0d49412448443e25929.png


(Yukarıdaki adımlarda birinci türevi alıyoruz çünkü kutup ikinci bir mertebeden bir kutuptur. Yani; (z - i) 'nin ikinci kuvveti olduğu için ƒ(z) 'nin ilk türevini alıyoruz. Eğer (z - i) 'nin üçüncü kuvveti alınsaydı, o zaman ikinci türevi alacaktık vs. (z - i) 'nin birinci kuvveti ise sıfırıncı mertebeden türeve karşılık gelir ki bu da ƒ(x) 'in kendisidir.) Yarı çemberin yayına A dersek, A üzerindeki integralin a sonsuza gittikçe 0'a gittiğini göstermemiz gerekir. L, A 'nın uzunluğuysa ve M, |f(z)| üzerinde bir üst sınırsa, o zaman tahmin lemmasını kullanarak

1d9a7a0bae0578fb64e338b08c298c6b.png


yazılabilir. Şimdi,

526d37417f58af4878ddb514d34b4c38.png


Böylece;

4eababf7fb3ceab76df342201a997c68.png


Kalıntılar yönteminin kullanılması


f(z) 'nin düşünmemiz gereken tek tekllik olan i civarındaki Laurent serisini ele alalım. O zaman,

bed22eeadfd8a20657bdd2d5257868f2.png


(Laurent serisi maddesinden bu çıkarım için örneğe bakınız.) Kalıntının ufak bir incelemeyle -i/4 olacağı açıktır (bunu görmek için, yukarıdaki eşitliğin z - i ile çarpıldığını; sonra her iki tarafın da Cauchy integral formülü ile integralinin alındığını varsayalım. Sadece ikinci terimin integralinin sonucu 0 olmayan bir nicelik verecektir.). O zaman kalıntı teoremi ile şunu elde ederiz:

e0530f51265493283ee8ba38f25af170.png


Yarı çemberin yayına A dersek, A üzerindeki integralin a sonsuza gittikçe 0'a gittiğini göstermemiz gerekir. L, A 'nın uzunluğuysa veM, |f(z)| üzerinde bir üst sınırsa, o zaman tahmin lemmasını kullanarak

1d9a7a0bae0578fb64e338b08c298c6b.png
 

BeReNN

Alyam?
Özel üye
yazılabilir. Şimdi,

526d37417f58af4878ddb514d34b4c38.png


Böylece;

4eababf7fb3ceab76df342201a997c68.png


Böylece aynı sonucu elde etmiş olduk.

Kontür notu

Bir yandan, diğer tekilliği, yani -i 'yi, de çevreleyecek bir yarım çember alınıp alınamayacağı sorusu da sorulabilir. Gerçel eksendeki integrali doğru yönde elde etmek için, kontür saat yönünde olmalıdır; yani integralin tamamiyle işaretini değiştiren negatif yönde olmalıdır.

Bu serilerle kalıntılar yönteminin kullanımını etkilemez.

Örnek(II) – Cauchy dağılımı

Olasılık kuramında Cauchy dağılımının karakteristik fonksiyonunun skaler bir katı olarak karşımıza çıkan

921728d657b037d87dd2ecdc75d87abb.png
250px-ContourDiagram.png


integrali basit hesabın tekniklerine karşı koymaktadır. Bu integrali, gerçel doğru üzerinde -a 'dan a 'ya ve daha sonra da 0 merkezli yarım çember üzerinde saat yönünün tersine a 'dan -a 'ya giden bir C kontürü boyuncaki kontür integrallerinin limiti olarak bulacağız. a, 1'den büyük olsun böylece sanal birim i eğrinin iç tarafnda kalsın. O zaman kontür integrali şudur:

17aa99812dd756edf286f4c8a551f2bc.png


eitz bir tam fonksiyon olduğundan (karmaşık düzlemin herhangi bir noktasında tekilliği yok), bu fonksiyonun tekillikleri payda z2 + 1 'in 0 olduğu yerlerde olacaktır. z2 + 1 = (z + i)(z - i) olduğu için, bu da sadece z = i veya z = -i 'de olacaktır. Bu noktalardan sadece bir tanesi bu kontürün sınırladığı bölgede kalacaktır. f(z) 'nin z = i 'deki kalıntısı şu şekildedir:
 

BeReNN

Alyam?
Özel üye

6a9f5cd096c297f2025bbccad98c3fbf.png
ce815b219aa8be0bde437c897d1ba5c8.png


Kalıntı teoremine göre, o zaman şunu elde ederiz.

88b14a9eade5568ea46bfb33e7d40625.png


C kontürü bir "doğru"ya ve bir de eğri bir yaya parçalanabilir. Böylece

50eb9b342360961359eec6c4582df5d6.png


olur ve bu yüzden


9c52f4fc1ef5ea25c685f1758426bdc2.png


olur. Eğer t > 0 ise, o zaman

415795ad2c634cf9c13f59f5d3083446.png


Bu yüzden, eğer t > 0 ise, o zaman

dbbad27812b43738b934902f5983e749.png


i yerine -i 'yi dolanan bir yay durumundaki benzer bir tartışma eğer t < 0 ise, o zaman

38f14564a56c578e851300681bcbadd2.png


olduğunu gösterir ve sonuç olarak şunu elde ederiz:

bf874eacf750391d44ef2062530dfb57.png


( t = 0 ise, o zaman integral gerçel-değerli hesabın yöntemleriyle çözülebilecek duruma gelir ve değeri de π olur.)
 

BeReNN

Alyam?
Özel üye
Örnek (III) – trigonometrik integraller

Trigonometrik fonksiyonları içeren integrallere belli yerine koymalar yapılarak bu integraller karmaşık değişkenli rasyonel fonksiyonların integrallerine dönüştürülebilir ve böylece yukarıdaki teknikler integrali bulmak için kullanılabilir.

Örnek olarak şu integrali ele alalım:
9db56f02f35a69d885c24ebfea91376b.png


z = eit yerine koymasını yapabilmeyi arıyoruz.

Şimdi, şunları hatırlayalım:

0c228eab6f923ce0dd16a048b96969b1.png
ve
85ad4f1f083f65b2ff2efb01206ec5e6.png


C 'yi birim çember alarak ve yerine koymayı yaparak şunu elde ederiz:

0c5ea221081ef303c11b2f000c1e4ccb.png
5873aa69ea0ade7794ae71a9bc044871.png
aba8626a2e0668a51a5f075681421928.png
3cdcae7f4c1d66916316eac5c0b064f4.png
5d3b48802c40b6a96f6ae41f63795813.png
Cauchy integral formülünü kullanıyoruz. Paydayı çarpanlarına ayıralım:
 

BeReNN

Alyam?
Özel üye
8791ff847ee034a95638495054a3f4ca.png
83528d6c2bcc06a32c46d12df01aa43e.png
b28385cfe663df80a6a6a30717d56589.png


O zaman göz önüne alınması gereken tekillikler 3-1/2i ve -3-1/2i 'de olur. O zaman integral şu hale gelir:

aa09817989c3cc14b783f0fec18f06ce.png


Burada C1, 3-1/2i etrafındaki küçük çemberdir ve C2, -3-1/2i etrafındaki büyük çemberdir. Şimdi formülü uygulayabiliriz:

e210359243d197575c086574dea152ae.png
4154cf888f63dcd8e69e394f9ed43379.png
2e31bee0911e6e75de9f34301377b725.png
12c11a837c50acddd0e2150fe7defa4b.png
c95be9ca27e532e7d343c5ad441e8c81.png
db710993cb577b41197129865d22c0e0.png
7d61d2de0799f95cffbfe36c7b39e2d5.png
11e331314425275c5692fa56240a2f2b.png
 

BeReNN

Alyam?
Özel üye
e4c9a13ff369d64aa759e1032a7bfd31.png


Örnek (IIIa) – trigonometrik integraller, genel prosedür


Yukarıdaki yöntem, P ve Q 'nun polinom olduğu

ec8785b8e59c0ce868a4420462aaf473.png


tipindeki bütün integrallere; yani trigonometrik terimler halindeki rasyonel fonksiyonların integrallerine uygulanabilir.

Burada yapılan hile z = exp(it), dz = iexp(it)dt yerine koyması yapmaktır. Bu yüzden

31aa2e09b61537a6a204f6c6d94bff95.png


elde edilir. Bu yerine koyma [0,2π] aralığını birim çembere gönderir. Dahası,

c25a5a6d0c85b907d28d699466da0684.png
ve
ec73b194f583beef7fc82944f217f40d.png


olur ve böylece yerine koyma işleminden z değişkenli bir f(z) rasyonel fonksiyonu ortaya çıkar ve integral

5783b34f0aee48086d9e71ca3466e8bb.png
 

BeReNN

Alyam?
Özel üye

haline gelir ki bu da birim çember içindeki f(z)'nin kalıntılarının toplanmasıyla hesaplanır.

Trigonometriktnkarmasiga.png


Sağdaki resim bunu şimdi hesaplayacağımız

2c6e7835ab523fd8c06a5b21f18fcdfd.png


için göstermektedir. Birinci adım şudur:

0e6beb4a827ea30310e07556d1de2f08.png
Yerine koymayla
3cd485db6f76efba733b8bc1e168a921.png
elde edilir. Bu fonksiyonun kutupları
1ce8eb907eb79696aef56fcb4f9a024d.png
ve
0dc9fdd810ce5b3c09cfe39ca4566359.png
'dedir. Bunlardan
d2bd03008ff3b16980c465bedbf6a4f7.png
ve
847d4ea960d9cc1d2347ecbb5fba875e.png


birim çemberin dışında yer alırken (kırmızı ile gösterilmiştir ancak ölçekli gösterilmemiştir),

c78121e4bb1ac55002800be36efadf21.png


ve

94d45000f881aad12bf38c0f0ef1b4fe.png


birim çemberin içinde yer alır (mavi ile gösterilmiştir). Karşılık gelen kalıntıların her ikisi de
 

BeReNN

Alyam?
Özel üye

d418846958f8aee88c5e7db1f7c24f37.png
'ye eşittir böylece integralin değeri

25b6cd776e899e893df11451e2a86f4a.png
olur.

Örnek (IV) – dallanma kesikleri


dc99a1d7427f63e241bd5f4b2bf833dc.png


integraline bakalım. Şu karmaşık integrali formüle ederek başlayabiliriz:

949c96d306b2ed6066d5991e5bffa1d1.png
180px-Keyhole_contour.svg.png


Yine ilişkin kalıntıları elde etmek için Cauchy integral formülü veya kalıntı teoremini kullanabiliriz. Ancak, burada dikkat edilmesi gereken nokta z1/2=e1/2.Log(z) olmasıdır böylece z1/2 'nin dallanma kesiği vardır. Bu da seçtiğimiz C kontürünü etkiler. Normalde, logaritma dallanma kesiği negatif gerçel eksen olarak tanımlanır; ancak, bu da integralin hesabını biraz daha karışık hale getirir. Bu yüzden, dallanma kesiğini pozitif eksen olarak alıyoruz.

O zaman, orijinde ε yarıçaplı bir çemberle başlayan, bu çemberden uzayarak pozitif gerçel eksene oldukça yakın ve paralel olan ancak eksene dokanmayan sonra da saat yönünün tersi yönde ufak çemberden daha büyük yarıçapta bir döngü (neredeyse tam bir çember) yapıp tekrar pozitif eksene parallel bir şekilde (ancak bu sefer negatif eksen yönünde) ufak çemberle birleşen veanahtar deliği kontürü adı verilen kontürü kullanalım.
z = -2 ve z = -4 büyük çemberin içindeler. Bunlar kalan iki kutuptur ve integrandın paydasını çarpanlara ayırarak elde edilebilir. z = 0 'daki kutuptan orijin etrafında tur yapılarak kaçınılmıştır.

γ, ε yarıçaplı ufak çember, Γ ise R yarıçaplı büyük çember olsun. O zaman,

588d6b5abaf8da54854a7b281b8f6a5f.png
 

BeReNN

Alyam?
Özel üye
z1/2 = e1/2 Log(z) olduğu için, dallanma kesiğinin üzerindeki kontür üzerinde, γ boyunca argumentte 2π kazanılmıştır ( Euler Özdeşliğiyle,

7008856d231c4fa730fbcdd93a68f0a9.png
birim vektörü temsil eder ki bu yüzden log olarak
2c9efff553ded961ff5a7bbf815d2b11.png
'ye sahiptir. z 'nin argumentinden de kastedilen bu
2583a5d13ba8cf3fe8f835a76aa74d23.png
'dir. 1/2 katsayısı ise bizi 2 çarpı
2583a5d13ba8cf3fe8f835a76aa74d23.png
yazmaya zorlamaktadır.); böylece

c9344b5d0e1c4b65e8980ec72011e655.png
a47af8a654d8b6513dde360e9af87dfe.png
59bf0ff96dd461ea89e1336373342829.png
basitleştirerek,
fdbc1cd1bd0c7863d5a2f35abbff4d18.png
ve sonra
4d4811c35895e708dbeedafe52066bc1.png


elde edilir.
Γ ve γ üzerindeki her iki integralin de ε sıfıra ve R sonsuza gittikçe sıfıra gittiği yukarıda bir tahmin tartışması yapılarak gösterilebilir. Bu yüzden, o zaman,

5ceeb3dd49b505694f0963f726e6314d.png


Kalıntı teoremi veya Cauchy integral formülü kullanılarak (iki basit kontür integralinin toplamını elde etmek için ilk önce kısmi kesirler yöntemini kullanarak), aşağıdaki elde edilir.

494273de7df5f3ebfcd048d045ed3ef9.png
 
Top