• Merhaba Ziyaretçi.
    "Yapay Zeka Objektif " Fotoğraf Yarışması başladı. İlgili konuya  BURADAN  ulaşabilirsiniz. Sizi de bu yarışmada görmek isteriz...

Kontür İntegrali Yöntemi - Kontür İntegrali Yöntemi Konu Anlatım

BeReNN

BeReNN

Alyam?
Özel üye
Örnek (V) – logaritmalar ve sonsuzdaki kalıntı

fbe102e8d7779781be4f4c302abd9908.png


integralini bulmaya çalışalım. Bu integrali bulmak için

1e03794c04ef768e2b24f423a8f758d3.png


fonksiyonunu incelememiz lazım. f(z) 'yi inşa edeceğiz öyle ki [0,3] aralığı üzerinde dallanma kesiği olacak (resimde kırmızı ile gösterilmiştir). Bunu yapmak içinse, logaritmanın iki tane dallanmasını seçiyoruz; yani

acb91af3cf016d1078336e7c6a15b522.png
ve
64183fed9d94a502bcae65ba6d0ffdc8.png
z3 / 4 'ün kesiği bu yüzden
f9d75a40b8eadac31117745d2255ef61.png
aralığı olurken, (3 − z)1 / 4 'ün kesiği
a344f5a460db11b3918099de2a61ab0d.png
aralığı olur. Bu ikisinin çarpımının yani f(z)'nin kesiği [0,3] olur çünkü f(z) aslında

3e2d1f97fea7861c7f7bb1a71eb778f6.png


boyunca süreklidir. Bunun nedeni ise, z = − r < 0 iken, kesiğe üstten yaklaşırsak, f(z)'nin şu değeri almasıdır:

d8a387bf970a984783308d3b22b93ebb.png


Alttan yaklaşırsak, f(z) şu değeri alır:

95811dadf9991215f2092056e3b88909.png
 
BeReNN

BeReNN

Alyam?
Özel üye
Ancak, exp( − 3 / 4πi) = exp(5 / 4πi) olduğu için kesiği geçerken bile süreklilik vardır. Bu da resimde z3 / 4 ve (3 − z)1 / 4'te kullanılan logaritmanın argumentine karşılık gelen değerlerin etiketlendiği iki yönlü siyah çember ile gösterilmiştir.

Burada resimde yeşil renkle gösterilen kontürü kullanacağız. Bunu yapmak için, kesiğin hemen üstünde ve altında yer alan doğru parçaları boyunca f(z)'nin aldığı değerleri hesaplamamız gerekir. Üst parça boyunca, f(z)'nin aldığı değer şudur:

fcd60c4c0d1f6010ed30286b535a21a7.png
Alt parça boyunca yine f(z)'nin aldığı değer şudur:

6810efa4409fd09c533620a8253c812b.png
O zaman,
070d9ea5bc3607ca9a3190501fd0227a.png
'nin üst parça boyuncaki integrali limitte
63ff33acbcfabcb09112ae300674ebc7.png
olurken, alt parça durumunda ise
8eac61b98a5665772fe9372b60176a9b.png
olur.

Eğer limitte iki yeşil çember üzerinde alınan integrallerin değerinin sıfır olduğunu gösterebilirsek, o zaman aynı zamanda Cauchy kalıntı teoremi ile

8eac61b98a5665772fe9372b60176a9b.png
'nın değerini de elde etmiş oluruz. Yeşil çemberlerin yarıçapını ρ ile gösterelim ve ρ < 1 / 1000 olsun.

3616549f15b212f32df9698d7988514e.png
iken ML-eşitsizliğini uygulayalım. Soldaki CL çemberi için şunu elde ederiz:
11c23186f68f63077f966354099077b6.png
Benzer bir şekilde, sağdaki CR çemberi için şunu elde ederiz:
edab936e7e9569e6eedeabb31e6d62e6.png
Şimdi Cauchy kalıntı teoremini kullanarak aşağıdaki eşitliği elde ederiz:
df746cc0544af37669e48743b9e45b6a.png
Logaritmanın önceki dallanmasını kullanarak aşağıdaki ifade açıktır:
 
BeReNN

BeReNN

Alyam?
Özel üye
db4f77d41c5231e2493b7dcf5ba8db5b.png
Resimde kutup mavi ile gösterilmiştir. O zaman, değer de
5c4583614ace9983375db93b39b55a83.png
şeklinde sadeleşir.
Sonsuzdaki kalıntı için ise şu formülü kullanıyoruz:
57a78982acfe7ba09c596769372bd0fc.png
Yerine koyarak,
322509ac32d683a74a4d595d6aced10c.png
ve
9d4527842d55baf2d5ba9b5c727c6d6a.png
eşitliklerini elde ederiz. Burada kullandığımız gerçek ise, logaritmanın ikinci dallanması için − 1 = exp(πi) olmasıdır. Sonra, binom açılımını kullanarak
9bb49309bdbd987de0ef6b567c3e5986.png
elde ederiz. Sonuç ise,
3fed8deee234631c3552932791ddfd07.png
olur. Son olarak,
8eac61b98a5665772fe9372b60176a9b.png
'nın değeri ise şu olur:
8cd8f238ec80f323038f1360129f72b1.png
yani
ca347083d1a3da0c0ebb121d3a360911.png
 
Benzer Konular Başlık Forum Cevap Tarih
BeReNN Lebesgue İntegrali Hakkında Matematik & Geometri 0
yesim434 Telefon Açıkken Kapalı Gösteren Kod Yöntemi Cep Telefonları 0
yesim434 Depresyondan ve Ergenlikten kolay çikma yöntemi :) Resimler 3
yesim434 Güncellemeler Nedeniyle Yavaşlayan Windows’u Hızlandırma Yöntemi İnternet 0
Enda Bebek beslenmesinde BLW yöntemi nedir? BLW'ye ne zaman başlanır? Anne - Çocuk Sağlığı 1

Top