Dini Testi

KıRMıZı

TeK BaşıNa CUMHURİYET
V.I.P
Matematikte Dini ve Dini-Lipschitz testleri, bir fonksiyonun Fourier serisinin bir noktada yakınsadığını kanıtlamak için kullanılabilen oldukça kesin testlerdir. Bu testler,Ulisse Dini ve Rudolf Lipschitz'in arkasından isimlendirilmiştir.

Tanım

f, [0,2π] üzerinde bir fonksiyon, t bir nokta ve δ, bir pozitif sayı olsun. t 'deki yerel süreklilik modülüsü

c8edc84f473035d50c6f38b58a4f0f11.png


ile tanımlanır. f burada periyodik bir fonksiyondur; yani t = 0 ise ve ε negatifse, o zaman şöyle tanımlarız: f(ε) = f(2π + ε).

Global sürekliklilik modülüsü (veya basitçe süreklilik modülüsü) ise


3209ed5f7d3497cc724b481999443f4f.png
ile tanımlanır. Bu tanımlarla esas sonuçları ifade edebiliriz.

Teeorem (Dini testi): Bir f fonksiyonu bir t noktasında

8ad4644937c62324aa072b479f498922.png


eşitsizliğini sağlasın. O zaman, f 'nin Fourier serisi t 'de f(t) 'ye yakınsar.
Örneğin, teorem ωf = log − 2− 1) iken tutar ama log − 1− 1) iken tutmaz.
Teorem (Dini-Lipschitz testi): Bir f fonksiyonu


fd4d9c83f082bc902ca88c76e71116d0.png
ifadesini sağlasın. O zaman, f 'nin Fourier serisi düzgün bir şekilde f 'ye yakınsar.
Özelde, Hölder sınıfında yer alan herhangi bir fonksiyon Dini-Lipschitz testini sağlar.


Kesinlik



Her iki test de kendi türlerinin en iyisidir. Dini-Lipschitz testi için, süreklilik modülüsü testini o yerine O ile sağlayan bir f fonksiyonu inşa etmek mümkündür; yani


495d0d60013ff0640f1c9cb3990f4ab7.png


olacak ve f 'nin serisi ıraksayacak şekilde. Dini testi, kesinlik ifadesi ise biraz daha uzundur. Şunu ifade eder:


b15d9a6a8d6d1ded358b33ca5096fa94.png


olan herhangi bir Ω fonksiyonu için bir f fonksiyonu vardır öyle ki


b0c026926eb2f08a2158c991882f8b77.png
ve f 'nin Fourier serisi 0'da ıraksar.


kaynakça

Vikipedi
 
Geri
Top