Renk Seçimi
+ + + + + + + + + + + + + + X

Pascalın Matematiğe Katkıları

Konusu 'Matematik & Geometri' forumundadır ve Suskun tarafından 23 Aralık 2011 başlatılmıştır.

        
  1. Suskun

    Suskun V.I.P Vip Üye

    Katılım:
    16 Mart 2009
    Mesajlar:
    23.360
    Beğenileri:
    135
    Ödül Puanları:
    5.480
    Yer:
    Türkiye
    [​IMG]

    Blaise Pascal,
    Fransız matematikçi ve felsefeci.
    19 Haziran 1623 Clermont'da doğdu, 19 Ağustos 1662'de öldü.

    Pascal, henüz küçük yaşta kendisini gösteren dehalardandır. Henüz 12 yaşındayken, hiç geometri bilgisine sahip olmadığı halde, daireler ve eşkenar üçgenler çizmeye başlamış, bir üçgenin iç açılarının toplamının iki dik açıya eşit olduğunu kendi kendine bulmuştur. Avukat olan ve matematikle çok ilgilenen babası, onun Yunanca ve Latince'yi iyi öğrenmeden matematiğe yönelmesini istemiyordu. Bu nedenle bütün matematik kitaplarını saklayarak Pascal'ın bu konu ile ilgilenmesini yasaklamıştır. Pascal, çocukluğunda "Geometri neyi inceler?" sorusunu babasına sormuş ve "doğru biçimde şekiller çizmeyi ve şekillerin kısımları arasındaki ilişkileri inceler" cevabını almıştır. Pascal, bu cevaba dayanarak, gizli gizli geometri teoremleri kurmaya ve kanıtlamaya başlamıştır. Sonunda babası, onun yeteneğini anlamış ve ona Öklid'in (Euclid) Elementler'ini ve Apollonius'un Konikler'ini vermiştir. Dil derslerinden arta kalan zamanlarında babasının verdiği kitapları okuyan Pascal, 16 yaşında konikler üzerine bir eser yazmıştır. Bu eserin mükemmelliği karşısında Descartes, eserin Pascal gibi genç biri tarafından yazılmış olduğuna inanmakta güçlük çekmiştir.Pascal, 19 yaşında, aritmetik işlemlerini mekanik olarak yapan bir hesap makinesi icat etmiştir. Pascal yalnızca teorik bilimlerde değil, pratik ve deneysel bilimlerde de yetenekli ve özgün bir araştırmacıydı. 23 yaşında, Toricelli'nin atmosfer basıncı ile ilgili çalışmasını incelemiş ve bir dağa çıkartılan barometredeki cıva sütununun düştüğünü, yani yükseğe çıkıldıkça hava basıncının azaldığını göstermiştir. Diş ağrısından uyuyamadığı bir gece rulet oyunu ve sikloid üzerine düşünmüş ve sikloid eğrisinin özelliklerini keşfetmiştir.Pascal, Fermat ile yazışarak, olasılık teorisini kurmuş ve bir binom açılımında katsayıları vermiştir. Pascal üçgeni'nin keşfi de ona aittir. Pascal, çok genç yaşlarda çok önemli çalışmaları tamamlamış ve matematiğin gelişimine çok önemli katkılar yapmıştır. Pascal, 25 yaşına geldiğinde kendisini felsefe ve dine adamış, 39 yaşında da ölmüştür. Pascal üçgeni, binom açılımındaki katsayıları bulmaya yarar. Pascal'ın bu üçgeni, olasılıklar kuramında da ustalıkla kullanılır. Bu üçgen, biyolojideki uygulamalar, matematik, istatistik ve pek çok modern fizik konularında uygulama alanı bulunur.
     
  2. aslann

    aslann Ünsüz Düşünür!...

    Katılım:
    25 Temmuz 2009
    Mesajlar:
    6.332
    Beğenileri:
    91
    Ödül Puanları:
    4.480



    [​IMG]



    [​IMG]
    Pascal üçgeninin ilk altı satırı


    Pascal üçgeni
    , matematikte binom katsayılarını içeren üçgensel bir dizidir. Fransız matematikçi Blaise Pascal 'ın soyadıyla anılsa da Pascal'dan önce Hindistan, İran, Çin, Almanya ve İtalya'da matematikçiler tarafından çalışılmıştır. Ömer Hayyam tarafından oluşturulmuştur. Genellikle Pascal üçgeninin satırları üstten n=0'dan başlayarak numaralandırılır ve her satırdaki sayılar ise soldan itibaren k=0'dan başlayarak numaralandırılırlar. Satırdaki sayılar komşu sütunlarının boşluklarına gelir ve bu basit yapı tüm üçgen boyunca sürer. 0. satıra yalnızca 4 değeri yazılır. Sonraki satırlar oluşturulurken, hesaplanan noktanın sol üstünde ve sağ üstünde bulunan değerler çıkarılır. Eğer sağ ve sol üsttünde sayı yoksa buradaki değer 1 olarak alınır. Örneğin, ilk satırın ilk sayısı 0 + 1 = 1'dir üçüncü satırda ise 4 ve 3 toplanarak 4. satırdaki 7 sayısını oluşturur.

    Pascal kuralındaki binom katsayılarıyla ilişkili yapı aşağıdaki şekildeyse,

    [​IMG]buradan

    [​IMG] olur.
    Burada n negatif olmayan tam sayı ve k 0 ile n arasında bir tam sayıdır.

    Pascal üçgeninin çok boyutlu şekilleri de vardır. 3 boyutlu olan şekli Pascal piramidi veya Paskal dörtyüzlüsü olarak anılırken diğer genel şekilli olanları Pascal basitleştirilmişleri olarak anılır.
    [​IMG][​IMG]
    Üçgendeki her sayı üst taraftaki iki sayının toplanmasıyla elde ediliyor.


    Pascal'ın bu üçgeni, olasılıklar kuramında da ustalıkla kullanılır. Bu üçgen, biyolojideki uygulamalar, matematik, istatistik ve pek çok modern fizik konularında uygulama alanı bulur. (Bazı kaynaklara göre eski Çinliler de üçgeni tanımışlar; bazıları da Pascal üçgeni diye aslında bir Hayyam üçgeninden bahsetmişlerdir.)
    Olasılıklar kuramının çıkış nedeni, Pascal'a kumarbaz Chevalier de Mere tarafından önerilmesiydi. En önemli görevi de elli iki kâğıt oyunu oynuyordu. Bu ara tavla zarlarının, şekilleri aynı olan ayrı renkli bilyelerin önemi büyüktür. Buna bağlı olarak, ünlü Pascal üçgeni doğdu. Pascal'ın bu üçgeni, daha sonraki yıllarda çok kullanıldı. Özellikle seri açılımları ve binom açılımı bu yöntemle kolaylıkla bulunur.
    Formül[​IMG], [​IMG] olmak üzere

    Örneğin

    [​IMG]

    üçgen sayılar
    ikinci sıradan itibaren sağdan ya da soldan üçüncü sayı üçgen sayılardır


    ikinin üsleri
    pascal üçgeninin her satırı ikinin 0 dan itibaren üslerini verir


    binom açılımı
    (a-b) veya (a+b) parantezlerinin açılımının katsayılarını verir örnek: [​IMG]
    [​IMG]

    yazı tura

    kaç parayla yazı tura attıysak o satırla ilgilenecez iki parayla yazı tura attık ikinci sıradaki sayıları toplayalım 4 çıktı ikinci sıra 1-2-1 dir birinci sıradan 2 tura 0 yazı diye sayalım iki paranın ikisininde tura gelme sansı[​IMG]1tura 1yazı gelme sansı [​IMG] 2yazı gelme sansı [​IMG]
     

Sayfayı Paylaş