Devirli ondalık açılım ve irrasyonel sayılar
İRRASYONEL SAYILAR-PİSAGORCULAR
Sayılar pratik problemlerle ilgili olduğunda düşünüyoruz. Fakat sayıların birbirleriyle ilişkileri değerlendirilebilir. Bilindiği gibi pisagorcular sayıları araştırmada ilkler arasındadır. Bu bilgilerde pisagorcular;
1= Sebep esası olarak düşünüldü.
2= Fikirle tanımlandı.
4= Eşitliklerin neticesi olan ilk numara olduğu için adaletle (1’den hariç ilk tam kareli sayı) çağrıştırdılar. 1’den daha büyük sayılar için;
Tek sayılar=Erkeğe,
Çift sayılar=Kadına özgüydü.
5=İlk kadına özgü özgü sayı (2) + ilk erkeğe özgü sayı (3)=5 olduğu için evliliği ifade ediyordu.
Pisagorcular mistik anlamlara sahip özel sayılarla ilgilendiler. Tam sayılar, eksik sayılar, fazla sayılar,asıl sayılar,üçgensel sayılar, karesel sayılar,beşgensel sayılar… En ilginç olanı ise tam kare sayılar idi. Karelere ayarlanabileceği için tam kare diye adlandırdılar.
Pisagorcuların Tarihi:
Pisagorcular da herhangi bir keşfin kendisine ait olduğunu iddia etmek bir saygısızlık olarak düşünülüyordu. Her yeni bulunan fikir pisagorcu toplumuna ait oluyordu. Her akşam pisagorcular kendilerine şu soruları sorarlardı.
1) Bugün iyi bir iş olarak ne yaptım?
2) Bugün ne de başarısızdım?
3) Bugün yapmış olmam gereken neyi yapmadım?
*Evreni tam sayılarla düzenli gören pisagorcular için karenin kenarı ile köşegeni gibi aynı türden geometrik büyüklüklerin ORTAK ÖLÇÜSÜZ olması akıl almaz bir skandaldı. O yüzden ne pahasına olursa olsun gizli tutulmalıydı. Kenarı 1 birim olan karenin köşegeni rasyonel bir sayı ile bilinemeyen bir doğru parçasıdır.
M.Ö 5 yy da antik yunan döneminde matematikte bilinen ilk bunalım ortak ölçüsüz büyüklüklerin bulunmasıyla bu şekilde ortaya çıktı. O zamanlarda iki tam sayının bölümü olarak bilinemeyen doğru parçalarının varlığı ne demek? Sorusu akılları uğraştırdı.
Pisagorcuların düşüncesine göre; ”Sayılar evreni oluşturur .” Bu yüzden her şey sayılarla açıklanabilmeliydi. Basit olmalarına rağmen eş ölçeksiz büyüklüklerin bulunuşu bu düşünceye son veren darbe oldu.
İki uzunluğun EŞ ÖLÇEKLİ OLMASI için; bu uzunluklardan her ikisinde de bir tam sayının katı kadar bulunan bir birim gerekir. O halde iki uzunluğun ortak bir tam böleni bulunduğu söylenir. Söz konusu birim bu uzunluklar için bir ortak ölçü oluşturur. O halde İRRASYONEL SAYILAR’ ın bulunuşu;EŞ ÖLÇEKSİZ UZUNLUK’ ların bulunuşu demektir.
Bir karenin köşegeni d’nin, kenarı c’ye d2=2c2 bağıntısı ile bağlı olduğu biliniyordu. Öyleyse d/c oranı karesi 2 olan bir sayıdır. Bu oran indirgenemez. p/q kesriyle ifade edelim. Bu durumda p2/2q2 eşitliği elde edilir. Buradan 2q2=4r2 ve q2=2r2 ifadesi bulunur. Yani q’da çift sayıdır. Bu durum p/q kesrinin indirgenemez olmasıyla çelişir. Bu ispatı Aristo yapmıştır. *Bir karenin kenarının köşegenine oranı bir kesirle ifade edilemez.
Sonuç olarak:İki uzunluğu ölçmek için ortak birim yoktur. Bir kare kadar basit bir şekil üzerinde yapılan bu buluş İRRASYONEL SAYILAR’ ın evrenin her yerinde bulunduğunu gösterdi.
Sayılar kuramı alanında işlemlerle tanımlanamayan sayıların varlığı kabul edildi. Tam sayıları, rasyonel sayıları ve rasyonel sayı dizilerinin limiti olan sayıları içeren Reel (gerçek) sayılar kuramını geliştirmek için aradan birçok yüzyılın geçmesi gerekli.
Bu d2=2c2 hikayesinin varolamayacağı garip bir keşifti çünkü geometrik ispatların çoğunda iki doğru parçası verildiğinde müşterek bir uzunluk biriminin varlığı kabul edilirdi. Böyle bir birimin varolmadığını Aristo ispat etti. Öklit geometrisinin mantıki yapısında bir gedik, uzunlukların oran ve orantılarının tartışılmasında bir eksiklik olduğu görüldü.
Matematikte bazı temel fonksiyonları ifade etmeye çalıştığımızda başka irrasyonel sayılar ortaya çıkar. Örneğin; Bir trigonometrik fonksiyon olan sin x’in değerlerini bulmaya çalışırsak x=60 olduğunda √3/2 irrasyonel sayısını elde ederiz. log x fonksiyonunu x’in rasyonel değerleri için ifade etmek istersek irrasyonel sayılar elde ederiz. Her ne kadar logaritmik ve trigonometrik fonksiyonların cetvellerindeki listelenmiş sayılar günümüzde rasyonel iseler de ancak irrasyonel değerlerinin yaklaşık rasyonel değerleridir.
İrrasyonel sayıların elementer matematikte çeşitli tabii yollardan ortaya çıktığı aşikardır.
İRRASYONEL SAYILARDA KAPALİLİK
Rasyonel sayıların gösterildiği gibi toplama, çıkarma, çarpma ve bölme (sıfır hariç) altında kapanmasına mukabil irrasyonel sayılar bu özelliklerin hiçbirine sahip değildir.
İrrasyonel sayılar toplam altında kapalı değildir. İspat için toplamı rasyonel olan iki irrasyonel sayı vermemiz kafidir. √2 irrasyonel ve -√2 de rasyoneldir. Fakat √2-√2=0 olduğunda “0” rasyoneldir.3+√2 ile 5-√2 nin toplamı da bir tamsayıdır.
Daha genel olarak: r1+a ile r2-a nın (burada r1 ve r2 rasyonel ve a irrasyonel olsun) toplamı rasyoneldir. İrrasyonel sayıların toplam altında kapalı olmadıkları önermesi herhangi iki irrasyonel sayıyı topladığımızda toplamın irrasyonel olacağı anlamına gelmemelidir. Hiç olmazsa bir halde toplam rasyoneldir anlamındadır.
İki rasyonel sayıyı topladığımızda elde edilen sonucun rasyonel veya irrasyonel olması; hareket ettiğimiz iki sayıya bağlıdır. √2 ile -√2 nin toplamı rasyonel olmasına rağmen √2 ile √3 ün toplamı irrasyoneldir. Benzer şekilde irrasyonel sayılar çıkarma, çarpım ve bölme altında kapalı değillerdir.
SONSUZ ÇOK İRRASYONEL SAYI TEŞKİLİNE İMKAN VEREN TEOREM
α herhangi irrasyonel bir sayı ve r sıfır hariç her hangi rasyonel bir sayı olsun. Bu takdirde;
*r veα nın toplam, çarpım, çıkarma ve bölümü irrasyonel sayıyı
*-a ve a-1 de irrasyonel sayıyı verir.
İSPAT: Bu sonuçlar endirekt ispatlar yardımı ile kolayca tesis edilecektir. –a’nın rasyonel yani r’nin rasyonel olduğu tahmin edilen sayıyı göstermek üzere –a=r1 olduğunu kabul edelim. Şu halde,
a=-r1 olacak ve –r1 gene bir rasyonel sayıdır. Böylece; a irrasyonel olduğundan bir çelişmezliğe düşülür.
Teorem –a, a-1=1/a, α+r, a-r, r-a, r-α, a/r, r/a’ların irrasyonel olduğunu iddia eder. Daha şimdi; -a’yı tetkik ettik a-1’in irrasyonelliğinin ispatında r=1 ile r/a nın bir özel hali olduğunu görürüz. Böylece ayrı olarak bu hali tetkik etmeğe lüzum yoktur.
Geri kalan altı halin hepsini birlikte, en genel şekliyle, ispat edelim. Eğer bu ifadelerden bir veya daha fazlası rasyonel olsaydı, o vakit aşağıdaki;
a+r=r1 r.a=r4
a-r=r2 a/r=r5
r-a=r3 r/a=r6denklemlerinin bir veya daha fazlası cari olacaktı. Burada r1,r2,r3,r4,r5,r6 bazı rasyonel sayıları gösterir. a’ya göre bu denklemleri çözerek
a=r1-r a=r4/r
a=r2+r a=r.r5
a=r-r3 a=r/r6elde ederiz.
Bu denklemlerin sağ tarafları irrasyonel sayıların kapanma özelliklerinden dolayı, rasyonel sayılardır. Bu denklemlerin hiçbiri cari olmaz, çünkü a irrasyoneldir. Bu sebepten a+r, a-r, vs sayılarından herhangi birinin rasyonel olması sayılar sınıfını teşkil edebiliriz. Mesela √2 den teoremin her ifadesini tatbik ederek;
-√2, 1/√2, √2+5, 3-√2, -2√2,√2/7, 4/√2’lerin hepsinin irrasyonel olduklarını söyleyebiliriz. Madem ki teoremin her iddiası için kullanabildiğimiz sonsuz sayıda rasyonel sayı vardır. O halde böyle sonsuz sayıda çok irrasyonel sayının teşkil edilebileceği aşikardır.
√2’NİN İRRASYONELLİĞİ
İSPAT: √2’nin rasyonel bir sayı olduğunu farz edelim, a ve tamsayılar olmak üzere;
√2=a/b olsun
a/b rasyonel kesrinin en basitleştirilmiş şekilde olduğunu kabul edeceğiz. Bilhassa a ve b’nin her ikisinin de çift olmadığı keyfiyetini kulacağız, zira eğer çift olsalardı kesir en basitleştirilmiş halde olmayacaktı. Yukarıda ki eşitliğin karesini alıp basitleştirirsek,
2=a2/b2 , a2=b2 elde ederiz. 2b2 terimi bir çift tamsayı gösterir, dolayısıyla a2 bir çift tam sayıdır, bundan dolayı a bir çift tam sayıdır. a=2c demektir, burada c bir tam sayıdır.
a2=2b2 denkleminde a yerine 2c yazarsak (2c)2=2b2 ,4c2=2b2 ,2c2=b2 elde ederiz. 2c2 terimi bir çift tam sayı belirtir. Öyleyse b2 ve bundan dolayı b bir çift tamsayıdır. Buradan a ve b’nin her ikisinin de çift olduğu sonucuna varıyoruz. Halbuki a/b’nin en basitleştirilmiş halde olduğu kabul edilmişti. Bu çelişki √2’nin rasyonel a/b şeklinde ifade edilemeyeceği sonucuna götürür ve bundan dolayı √2 irrasyoneldir.
√3’ ÜN İRRASYONELLİĞİ
√3’ün irrasyonel olduğu hakkındaki ispat √2’nin irrasyonelliğinin ispatına benzer. İspata bir giriş olarak bir tam sayı karesinin, eğer tamsayının kendisi 3 ile bölünebilirse, 3 ile bölünebildiğini göstereceğiz. 3 ile bölünebilen bir tamsayıyı 3n şeklinde, bölünemeyen bir tamsayıyı 3n+1 şeklinde alalım:
(3n)2=9n2=3(3n2)
(3n+1)2=9n2+6n+1=3(3n2+2n)+1
eşitlikleri bu iddiayı teyit ederler.
İSPAT: √3’ün rasyonel bir sayı olduğunu farz ederiz.
√3=a/b olsun. (a,b Є Z)
Tekrar √2 halinde olduğu gibi a ve b’nin her ikisinin de 3 ile bölünemediğini ve a/b’nin en basitleştirilmiş halde olduğunu kabul edelim. Eşitliğin karesinin alır ve basitleştirirsek;
3=a2/b2 , a2=3b2
elde ederiz. 3b2 tamsayısı 3 ile bölünür, yani a2 3 ile bölünebilir. a=3c demektir. a2=3b2 denkleminde a yerine 3c koyarsak;
(3c)2=3b2 , 9c2=3b2 , 3c2=b2
elde ederiz. Bu b2’nin 3 ile bölünebildiğini ve bundan dolayı b’nin 3 ile bölünebildiğini gösterir. Bu ise a/b’nin en basitleştirilmiş halde olmasına aykırıdır. Bundan dolayı √3 irrasyoneldir.
√6 VE √2+√3’ÜN İRRASYONELLİĞİ
√2 ve √3’ün irrasyonelliği hakkındaki ispatlar sırası ile 2 ve 3 ile bölünebilmelerle bağlı idi. √6’nın ispatı da hem 2 hem 3 ile bölünebilmeye bağlı olarak yapılabilir. Mesela √2’nin ispatına paralel olarak,
√6=a/b
olduğunu kabul edelim. Burada a ve b her ikisi de çift tamsayılar değildirler. Karesini alarak;
6=a2/b2 , a2=6b2
elde ederiz. 6b2 çift olduğundan b2 de çifttir. Öyleyse a çifttir.
a=2c olsun. O halde,
a2=6b2 , (2c)2=6b2 , 4c2=6b2 , 2c2=3b2
yazabiliriz. Bu bize 3b2’nin çift olduğunu gösterir. Öyleyse b2 ve b çifttir. Fakat a ve b’nin her ikisinin de çift olmadığı kabul edilmişti. Öyle ise √6 irrasyoneldir.
√6’nın irrasyonelliğine bağlı olarak √2+√3’ün irrasyonelliğini de şu şekilde gösteririz;
√2+√3 rasyonel olsun.
√2+√3=r diyelim. Karesini alır ve basitleştirirsek,
(√2+√3)2=r2
2+2√6+3=r2
2√6=r2-5
√6=r2-5/2
elde ederiz.
Rasyonel sayılar dört işlem altında kapalı olduklarından r2-5/2 rasyonel bir sayıdır. Fakat √6 irrasyoneldir. Böylece çelişmezliğe düşeriz. Bundan dolayı √2+√3’ün irrasyonel olduğu sonucuna varırız.
REEL SAYILAR
En basit sayılar, sayımda kullanılan 1,2,3,… vs gibi pozitif tamsayılardır. Bunlara “tabii sayılar” denir ve binlerce yıl bizimle beraber mevcut olan bu sayılar için tanınmış matematikçi Kronecker “Tanrı tabii sayıları yarattı, bütün geri kalan ise insanın eseridir” meşhur sözünü sarf etmiştir.
Günlük hayatın temel ihtiyaçları ½,2/3,5/4,… vs gibi adi kesirlerin ithalini icap ettirdi. Böyle sayılara rasyonel sayılar denmesi bunların tamsayıların oranları olmalarından dolayıdır.
Tabii sayıların bir doğru parçası boyunca noktalarla gösterildiğini düşünebiliriz. Her nokta tıpkı bir şerit metredeki santim sayıları gibi bir evvelki noktadan bir uzunluk birimi uzaklığında bulunur. Rasyonel sayıları aynı doğru parçası üzerinde gösterebilir ve bunların uzunluk kesirlerini ölçtüğünü gösterebiliriz.
1 2 3 4
1/2 2/3 5/4
1 2 3 4
Daha sonraları Hintliler en mühim olan 0’ı icat ettiler ve modern zamanların başlangıcında ise İtalyan cebircilerin negatif sayıları icat ettiler.
-3/2
-2 -1 0 1 2
Matematikçiler rasyonel sayılardan bahsettikleri zaman (**** olarak gösterilebilen, yani 2=2/1=6/3,…vs olan) pozitif ve negatif tam sayıları, sıfır ve adi kesirleri kastederler. Pozitif ve negatif tam sayılar ve sıfıra tam sayılar denir; bundan dolayı rasyonel sayılar sınıfı tan sayılar sınıfını ihtiva eder.
Z = 21 + { 0 } Z
Q = { x/x = a/b , a Є Z , b ≠ a ve b Є Z}
Buradan Z olduğu açıktır. Q
Adi kesirlerin geometrik maksatlar için kafi gelemeyeceğinin keşfi bundan 2500 yıldan daha fazla bir zaman önce Yunanlılar tarafından yapılmıştır.
M.Ö 4. yüzyılda yaşayan Pisagor ve tarikatı evrendeki her şeyin sayılar ile açıklanabileceğini ve sayı üzerine kurulduğunu savunuyorlardı. Matematikçilerden oluşan ve sayılara tapan bu tarikat mensupları öğretilerini dışarıdan hiç kimseye anlatmaz, yazılı bir eser ortaya çıkarmaz, bilgileri kulaktan kulağa aktararak iletir ve saklardı. Her şeyin sayı olduğunu ve evrenin sayılarla açıklanabileceğini savunan bu tarikatın bir üyesi kenarları 1 birim olan karenin köşegeninin bilinen sayılar cinsinden ifade edilemeyeceğini fark etti.
Kenarları 1 birim olan bir karenin köşegeninin uzunluğu √2 birimdir, yani köşegenin uzunluğu karesi 2 olan sayadır.
Pisagorcular arasında huzursuzluk başladı çünkü inandıkları öğretici her şeyin tam sayılarla açıklanabileceğini savunuyordu. Bir ikilem içine girdiler, öğretilerine yürekten bağlılardı ama mantıkları inandıkları şeyin doğru olmadığını söylüyordu, bu dönem matematiğin ilk bunalımı sayılır.
Pisagor teoremine göre böyle bir7 karenin köşegen uzunluğu 2’nin karekökü olan bir irrasyonel sayı ile ifade edebiliriz. Geometrik olarak bunun ifade ettiği anlam, bir karenin hem kenarına ve hem de köşegenine konulabilecek bir tam sayı misli kadar hiçbir müşterek uzunluk biriminin ve ne kadar hassas olursa olsun, hiçbir müşterek ölçeğin mevcut olmayışıdır.diğer bir deyişle, bir karenin kenar ve köşegeninin, ne kadar küçük olursa olsun, katları olabilecek böyle bir birim yoktur. Yunanlılar için bu garip bir keşifti, çünkü geometrik ispatların çoğunda iki doğru parçası verildiği takdirde müşterek bir uzunluk biriminin mevcudiyeti kabul edilmekte idi.
İki rasyonel sayı arasına, sonsuz çoklukta baksa rasyonel sayılar yerleştirilebileceğini ifade etmiştik.
1/3 2/3
10/30 20/30
100/300 200/300
. .
. .
Sayı ekseninin rasyonel sayılarla tamamen doldurulamayacağını gördük.
√2 irrasyonel bir sayıdır. sayı eksenini rasyonel sayılarla dolduramıyoruz. Madem ki eksen üzerindeki her nokta başlangıç noktasından bir miktar uzaklıkta bulunuyor, böylece her noktaya bir sayının tekabül etmesi gerekir.
Her noktasına bir sayı tekabül ettirilen doğru veya eksene “reel doğru” denir.
i ) A Number Line :
Zero
Negatif numbers Positive numbers
-2 -1 0 1 2
ii )A Number Line With Rationals:
…1/16 1/8 ¼ ½
-8 -6 -4 -2 0 .2 .4 .6 .8 1
iii ) Finding an irrational “hole ” on a dense number line with rationals plotted
1
-5 0 .5 1 1.5
√2 1
iv ) Real number line showing some rationals and some irrationals
Rationals 0.1555…
0 0.05 √0.01 0.15 1/5 1/4
R . . . .
0 0.2 0.4 π/50 .0.8 0.1 0.14 0.16 0.18 0.2 √0.05 0.24 0.26
Irrationals -0.12345678910…
Q Q1
N
Z
IR = Z Q Q1
-----------------R----------------------
Herhangi bir reel sayıya rasyonel yada irrasyoneldir.
OMÇG (Amerikalı matematikçi ve eğitimciler tarafından oluşturulan) 1950’li yıllarda aksiyomları euclidyen geometri için sunmuşlardır.
Uzaklık hakkındaki aksiyomlarında;
Postulat 3(Cetvel postulatı): Bir doğrunun noktaları reel sayılar ile 1-1 tekabül içine aşağıdaki gibi sokulabilir.
i) Her noktaya kesinlikle bir reel sayı karşılık gelir.
ii) Her reel sayıya doğrunun bir noktası karşılık gelir.
iii) İki nokta arasındaki uzaklık bu noktada karşılık gelen sayılar farkının mutlak değeridir.
Reel doğrunun noktalarına tekabül eden sayıların rasyonel veya irrasyonel olmalarına göre noktalar ya rasyonel yada irrasyoneldir.
Reel sayılar bütün rasyonel ve irrasyonel sayılardan ibaret olup matematiğin merkezsel sayı sistemini teşkil eder. Geometri, reel sayıların yani verilen bir uzunluk birimi cinsinden mümkün bütün uzunlukları ölçmek için gerekli bütün sayıların tarifi için bir usul verir. Geometride uzunlukların, alanların veya hacimlerin sonucu bizi reel sayılara götürür.
Bir doğru parçası boyunca sayıların noktalar olarak gösterilişlerini tekrar göz önüne alırsak, ne kadar küçük olursa olsun, herhangi bir doğru parçasının sonsuz sayıda çok rasyonel nokta ihtiva etmesine rağmen rasyonel sayılarla ifade edilemeyen uzunlukları ölçen çok sayıda başka (√2,∏,log2) noktaların da mevcut olduğunu buluruz. Bütün reel sayıları göz önüne alırsak, doğru üzerinde her noktaya tam bir reel sayı ve her reel sayıya doğru üzerinde edilebileceği keyfiyeti bu sayıların tamamlık özelliği olarak bilinir ve matematik analizin bütün gelişmesi bu özelliğine dayanır.
Reel sayılar böylece iki cinstir, rasyonel ve irrasyonel sayılar olmak üzere. Reel sayıların daha yeni olan cebirsel sayılar ve transandant sayılar diye iki kategoriye ayrılması vardır.
Bütün polinom denklemlerin gerçel sayı olarak çözümleri Q’ ya ilave edilecek olursa gerçel sayılar elde edilmelidir. Burada herhangi bir polinom denklemi sağlamayan gerçel sayıların varolduğu gerçeği unutulmamalıdır. Dolayısıyla katsayıları tam sayı olan polinomların gerçel sayılardaki çözümlerine cebirsel sayılar; cebirsel olmayan gerçel sayılara da transandant sayılar adı verilir. transandant sayıların sayısı cebirsel sayılardan fazladır.
Her rasyonel sayının cebirsel bir sayı olduğunu görmek kolaydır. Mesela 5/7 7x-5=0 denklemini gerçekler ve bu denklem polinom denklemidir. Daha genel olarak, herhangi a/b rasyonel sayısı bx-a=0 denklemini sağlar ve dolayısıyla cebirsel bir sayıdır.
Her rasyonel sayı madem ki cebirseldir, bundan her cebirsel olmayan sayıların rasyonel olamadıkları sonucu çıkar, daha basmakalıp ifadeyle her transandant sayı irrasyoneldir.
√2 ve 3√7 cebirseldir. x2-2=0 ve x3-7=0 denklemini sağlarlar.
log2 ve π sayıları transandant sayılara örnektir. π sayısı 3,14159… değeri ile herhangi bir dairede çevre uzunluğunun çapı oranıdır.
1851 yılında Fransız matematikçi Liouville transandant sayıların mevcudiyetini ispat etti. Bunu bazı sayıların cebirsel olmadıklarını göstermekle ispatlamıştır. 19. yüzyılın sonlarında π nin transandant bir sayı olduğu ispatlanmış ve bu netice “daireyi kareye çevirme” diye bilinen eski bir geometrik çizim problemini halletmiştir. 19. yüzyılda diğer bir ilerlemeyi Alman matematikçi Cantor, tamamen farklı bir şekilde meseleyi ele alarak, transandant sayıların varlığını ispatlamıştır. Cantor’un ispatı Liouville’nin kine göre cebirsel sayılara nazaran transandant sayıların daha bol olduğunu ispat etmekle bir üstünlük sağlamıştır.
e, π, eπ, 2√2 transandant sayılara bazı örneklerdir. Bu sayılarla çalışmak çok ilgi çekicidir. Çünkü benzer transandant sayıların inşa edilmesi çok zordur. e’nin transandantlığı tabi (doğal) logaritmanın tabanı olarak ilk defa 1873 de Euler tarafından gösterilmiştir.π’nin ki ise 1882 de F.Lindemann tarafından ispatlanmıştır.
Dolayısıyla a≠0, b≠1 ve b bir irrasyonel sayı olmak üzere ab sayısının transandant olup olmadığına karar vermek oldukça zordur. Hilbert sayısı olarak bilinen 2√2‘nin transandant olduğunun gösterilmesi uzun yıllar almıştır.
Rasyonel (bütün bunlar cebirsel sayılardır)
Reel Sayılar
Cebirsel mesela √2 , 3√7
İrrasyonel
Transandant mesela 2√2 , log2 ve π
Rasyonel
Cebirsel
İrrasyonel
Reel Sayılar
Transandant (bütün bunlar irrasyonel sayılardır)
Cebirsel sayıların bazıları rasyonel, bazıları irrasyoneldir. Fakat bütün transandant sayılar irrasyoneldir.
Reel sayıları sınıflamada farklı yollar gösterebiliriz.
1. Pozitif, negatif ve sıfır
2. Rasyonel sayı ve irrasyonel sayı
a. Eğer sayı bitiyorsa; rasyoneldir. Örnek: 5/8=0,625
b. Eğer sayı tekrar ediyorsa; rasyoneldir. Örnek: 5/11=0,4545…tekrarlayan ondalık
c. Eğer sayı bitmeyen ve tekrarsız ondalığa sahipse; irrasyoneldir.w
Örnek: √2=1,414213… π=3,14159… e=2,71828…
ONDALIK GÖSTERİLİŞLER
1/3 sayısını reel doğru üzerinde, 0 ile 1 birim noktaları arasını 3’e bölen mesafeye kolayca yerleştirmek mümkündür.
0 1/3 1
Şimdi 1/3’ün ondalıkla gösterilmesini göz önüne alalım:
1/3=0,33333…=3/10+3/100+3/1000+…
bu eşitlik 1/3’ü sonsuz terimli bir toplam olarak ifade eder. Terim sayısının sonu olmamasına rağmen toplamın belirli, yani 1/3 bir değeri vardır. Eğer 0,3 ; 0,33 ; 0,333 ; 0,3333 ; … lere tekabül eden noktaları reel doğru üzerine yerleştirirsek 1/3 noktasına yakın sayan bir noktalar silsilesi elde ederiz.
0 1/3
0,30 0,33
Herhangi bir sonsuz ondalık aynı şekilde reel doğrunun belirli bir noktasına ait olacaktır.
0,99999… sonsuz ondalığı halinde bunu gösteren nokta 0,9 ; 0,99 ; 0,999 ; 0,9999 ; 0,99999 ;vs… noktalarına tekabül eden noktalara yakınsar.
1=0,99999… eşitliğine yakın olarak 1 noktasına yakınsarlar.
0,99
0 0,9 1
• Her sayının sonsuz bir ondalık açılımı vardır.
Ör: ½=0,5000… 1/3=0,333..
Sonlu ondalık açılımı olanlar Ör: ¼=0,25
Rasyonel sayılar
Periyodik (tekrarlayan) ondalık açılımı olanlar Ör: 5/8=0,4545…
İrrasyonel sayılar Periyodik olmayanlar Ör: π=3,14159…
• Reel sayıların sonsuz ondalık gösterilişleri tektir. İspatlayalım.
Farklı sonsuz ondalık gösterilişi olan iki sayı alalım.
a= 17,923416…
b=17,923415…
a>17,923416 olduğu açıktır. b’de en fazla 17,923416’dır. b’de 5’ takip eden rakamların hepsi 9 olursa, yani eğer b=17,9234159 olursa, b=17,923416 veya 17,923416≥b şeklinde yazarız.
a>17,923416≥b buradan a>b çıkar. Şu halde a’nın b’den daha büyük olduğu sonucuna varırız; tabi bu eşitlik imkanını yok eder yani ortadan kaldırır.
