Tam sayılar

Suskun

V.I.P
V.I.P
Tam sayılar, doğal sayılar (0, 1, 2, ...) ve bunların negatif değerlerinden oluşur (-1, -2, -3, ...; -0 sayısı 0 sayısına eşit olduğundan ayrı bir tam sayı olarak sayılmaz). Matematikte tam sayıların tümünü kapsayan küme genellikle Z (ya da
0b100eeff3848a15dbb46291e7fe52ad.png
şeklinde gösterilir). Burada "Z" harfi Almanca Zahlen (sayılar) sözcüğünün baş harfinden gelmektedir. tamsayılarda toplama: tam sayılarda toplama yapılırken sayılar pozitifse toplanır sonuca yazılır.ikiside negatifse toplama yapılır fakat sonuç negatif olur.zıtsa birbirinden çıkarılır.büyüğün işareti verilir.

Tam sayılarda çarpma işlemi yapılırken aynı işaretlilerin çarpımı pozitif farklı işaretlilerin çarpımı ise negatifdir.Bölme işlemindede aynı çarpma kuralı uygulanır ve sayı aynı doğal sayılarda olduğu gibi bölünür.aynı işaretli iki tam sayı birbirine bölündüğünde sonuç pozitif,zıt işaretli iki tam sayı birbirine bölündüğünde ise sonuç negatiftir.tam sayıların sıfıra bölümü tanımsızdır.sıfırın tam sayılara bölümünde elde edilen sonuç ise sıfırdır.

pozitif tam sayılar "0"dan uzaklaştıkça büyür.Negatif tam sayılar ise "0"dan uzaklaştıkça küçülür.

En büyük negatif tam sayı -1'dir.En küçük pozitif tam sayı ise +1'dir.
Mutlak değer sayının başlangıç noktasına uzaklığını ifade eder.Başlangıç noktasına eşit uzaklıktaki sayılar mutlak değerce eşittir. Mutlak değer içindeki her sayı mutlak değer dışına pozitif olarak çıkar. çıkarma işleminde ise eksilene dokunulmaz diğer elemanlar (-)ise(+) (+)ise(-) yapılır böylece çıkarma işemini yapabiliriz (-)+(+) örnek sorular: 1:ardışık 4 çift sayının toplamı 204'tür.Buna göre, bu sayının en küçüğü kaçtır? A:46 B:48 C:50 D:52

Tanım

Tamsayılar doğal sayıların bir genişlemesidir. Her doğal sayının "-1" denen yeni bir öğeyle çarpılarak kümeye katılması olarak düşünülebilir. Tabi daha ayrıntılı olarak, doğal sayılar kümesinin kartezyen çarpımı üzerine tanımlanacak ve bir önceki cümlenin işlevini görecek bir denklik bağıntısı bize tamsayıları inşâ edecek.

ee8b616b4bc681f2424486757f38878d.png
kümesinden seçtiğimiz (a,b) ve (c,d) öğeleri için "~" (tilda) bağıntısı,

29001e6090b224f08ace05de8996960b.png


şeklinde tanımlansın (a+d=b+c dememizin nedeni sezgisel olarak a-b=c-d durumunu oluşturmaktır). Bu bağıntının denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla görülebilir. Bu durumda bu bağıntının denklik sınıfları bizim tamsayılar diyeceğimiz öğeler olarak düşünülecektir. Her bir denklik sınıfı temsilcisini,

a179726528da6e823da8f25372bd520c.png


olarak tanımlamış oluruz. Aslında [a,b] diye temsil ettiğimiz öğe

cfa9c82747a72bd2ba0067209dc6e30d.png


şeklindedir. Aşağıda toplama ve çarpmayı işlerken bu, daha iyi anlaşılabilecektir.

Bu noktada; bizim normalde, a ve b doğal sayı olmak üzere a-b diye bildiğimiz tamsayı aslında [a,b] kümesi olduğu görülebilir.

1bec53bf2814510fa0a433e517137766.png


Yâni bu bağıntının bize "eksi" (negatif) kavramını ifade ettiği söylenebilir. O halde, tamsayılar kümesi aşağıdaki bölüm kümesidir:

ac6e42ef560e53ac3021daaf4a578615.png


Öyle ki
4d3834818555076a8992100455d4fd2f.png
kümesi bir halka oluşturur.


Toplama


Toplamanın tıpkı doğal sayılarda olduğu gibi kalması, daha doğrusu bu toplamanın doğal sayılardaki toplamanın bir genişlemesi olması gerekir. Bu nedenle tamsayılar aşağıdaki belitleri sağlamalıdır: Herhangi a,b,c tamsayıları için
  1. a+0=a (birim öğe)
  2. a+b=b+a (değişme)
  3. a+(b+c)=(a+b)+c (birleşme)
  4. a+(-a)=0 (tersinir öğe)
Buradaki son madde doğal sayılarda olmayan bir özelliktir ve bu özellik tamsayılar kümesini öbek (grup) yapar.

Eğer daha öz (pür) düşünecek olursak toplama işlemi,

c1241daeccb8c9bf24031cf7feb15338.png


şeklinde tanımlanarak yukarıdaki denklik sınıflarının özellikleri sağladığı kolaylıkla görülebilir:
  • Kümenin birim öğesi, yani sıfır öğesi [c,c] olur:
05f1931ee3735fe68166e0c9483e5595.png

  • İşlem değişmeli olur:
57112f99d9a8ce82dd1d776da5dff246.png

 

Suskun

V.I.P
V.I.P

[*]Her öğenin tersi vardır:
[/LIST]
257d672bf6ae16a6ba3ec6ebf7bca9a4.png



fab71f1eec1c0c9c0b3241181c8d686a.png

  • İşlem birleşmelidir:
1f03ec216852fbe994f193fec34832bd.png


Ayrıca,

38d52ad49bb76bb2142f8e4e72a064c2.png


e7d42ee725dbf7d2fa600907a40faefd.png


gibi denklikler de görülebilir.

Çarpma

Tamsayılarda çarpma işlemi doğal sayılardaki çarpmayla aynı özellikleri gösterir. Çarpma işlemi, "
36f8ae4c86b69d52d037a6802d91cc4a.png
" imiyle gösterilir, ancak
23f67728366e547d92590bc017f83b94.png
yazmak yerine doğrudan ab yazmak gelenektendir. Bu maddede de öyle yapacağız.

Herhangi a, b, c tamsayıları için,

  1. a1=a (birim öğe)
  2. ab=ba (değişme)
  3. a(bc)=(ab)c (birleşme)
özellikleri sağlanır. Tamsayılarda çarpmaya göre tersinir öğe yoktur.

Ayrıca toplama ile çarpmanın birbirleriyle olan ilişkisini gösteren dağılma özelliği de vardır:

  • a(b+c)=ab+ac (çarpmanın toplama üzerine dağılma ya da kısaca soldan dağılma özelliği)
  • (a+b)c=ac+bc (toplamanın çarpma üzerine dağılma ya da kısaca sağdan dağılma özelliği)
Toplamayla birlikte bu iki işlem tamsayıları değişmeli halka yapar.

Çarpmayı, tıpkı yukarıda toplama için yaptığımız gibi, cebirsel olarak yapılandırabiliriz. Eğer çarpmayı,

41c708e32d9793c7c7d594f035caf3b7.png


olarak tanımlarsak yukarıdaki özellikler sağlanmış olur. Bu tanım tek değerli bir göndermedir. Bu sonuç yukarıda tanımlanan bağıntıdan kolaylıkla kanıtlanabilir.
 
Top