RASYONEL VE ONDALIK SAYILAR
1.a ve b tamsayı, b ≠ 0 olsun. a/b ye rasyonel sayada kesir denir.
2.lal < lbl ise a/b basit kesir,
lal < lbl için 0 < |a/b| < 1 dir.
Lal ≥ lbl ise a/b bileşik kesir dir.
ÖRNEK SORU 1:
5:X – 1 kesri bileşik kesir ise, x nedir?
ÇÖZÜM:
lx-l ≤ 5 ve x – 1 ≠ 0 olmalı
-5 ≤ x – 1 ≤ 5
-5+1 ≤ x-1 +1 ≤ 5+ 1
-4 ≤ x ≤ 6 ve x ≠ 1
3.a b/c ye tamsayılı kesir denir.
5 2/3-4 ¼=17/3-17/4=68-51/2
(4) (3)
=17/12 bulunur.
4.kesirlerde sadeleştirme ve genişleştirme yapılır.
2/3=2.5/3.5=10/55
=2(-3)/3(-3)=-6/-9=6/9
20/30=2.10/3.10=2/3
5.kesirler arasında toplama,çıkarma,çarpma,bölme işlemleri yapılır.toplama ve çıkarma işlemlerinde paydaların eşit olması gerekir.
Örnek soru:
1/2a(1)-/a(2)=1-2/2a=-1/2a=-1/2a=1/-2a
6.kesir problemlerinde önce parantez içi işlemler yapılır.Eğer parantez ok ise önce bölme, çarpma sonra toplama ve çıkarma işlemleri yapılır.
Örnek soru 3:
[3.(1 +5/3)]:1/7].(1/4+1/3)]:6 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 16 B) 49/9 C) 21 D) 16/3
Çözüm:
[3.(1+5/3):1/7.(1/4+1/3)]:6
[3.8/3:1/7.7:12]:6
[3.8/3.7/1.7/12]:6/1
8.49/12x1/6=49/9 bulunur.
Örnek soru 4:
1 ½.1/3-3/4:6/8+1/2 işleminin sonucu kaçtır?
A) 0 B) 1/12 C) 5/24 D) 1
ÇÖZÜM:
= ½.1/3-3/4:6/8+1/
=3/2.1/3-3/4.8/6+1/2
=1/2-1+1/2=0
7.Paydası 10, 100, 1000,... şeklinde kesirlere ondalık sayı denir.
A/10=0,a ab/10=a,b
8.Bazı kesirler ondalık sayıya çevrildiğinde virgülden sonrası düzenli olarak sonsuza kadar devam eder.Böyle sayılara devirli ondalık sayılar denir.
Örnek soru:
2/9 kesrini ondalık olarak yazarsak;
9.Devirli ondalık sayılar rasyonel sayıya çevrilirken aşağıdaki formül kullanılır.
Ab,cde=abcde-abcd/900 =sayının tamamı-devretmeyen sayı/virgülden sonra devreden kadar 9 virgülden sonra devretmeyen kadar 0
1.235=1235-12/990=1223/990
10. pozitif kesirler arasında sıralama yapılırken şu yollardan herhangi biri kullanılır.
a-) Paydaları eşitlenir, payı büyük olan büyüktür.
b-) Payları eşitlenir, paydası küçük olan büyüktür.
c-) Ondalık sayıya çevrilir.
d-) Pay ve payda arasındaki fark aynı ise basit kesirlerde payı büyük olan büyüktür. Bileşik kesirlerde ise payı küçük olan büyüktür.
(3/8<7/12)5 fark
(12/2>33/23)10 fark
11. Negatif kesirler sıralanırken önce pozitif gibi sıralanır, sonra sıralanma ters çevrilir.
Örnek-)
a=-1/2, b=-2/3, c=-3/5 ise a,b ve c yi sıralayınız.
Çözüm: 1/2 , 2/3, 3/5 sayılarını sıralayalım. Bu kesirlerin paylarını 6 da eşitlersek sırasıyla;
6/12, 6/9, 6/10 olur.
6/12<6/10<6/9 bulunur.1/2<3/5<2/3 sayılarını –1 ile çarparsak –1/2>-3/5>-2/3 a>c>b bulunur
12. Rasyonel sayılarda arada olma iki rasyonel sayı arasında sonsuz çoklukta rasyonel sayı vardır.
x<y için x ve y iki rasyonel sayı ise
x<x+y/2 <y olmak üzere
x+y/2 rasyonel sayıdır.
Örnek soru:
1<x<2 olacak biçimde her herhangi üç tane x rasyonel sayısı yazınız.
Çözüm:
1<x1<x2<x3<2 olsun.
x2=1+2/2=3/2
x1=(1+3/2).1/2=5/2.1/2=5/4
x3=(3/2+2).1/2=7/2.1/2=7/4
----------1-------x1--------x2---------x3----------2------------
5/4 3/2 7/4
örnek soru:
½ ile 2/3 rasyonel sayıları arasında ve paydası 36 olan kaç tane rasyonel sayı yazılabilir?
Çözüm:
1/2 =18/36 ve 2/3=24/36
(18) (12)
1/2<x<2/3 → 18/36<x<24/36
x ε (19/36, 20/36, 21/36, 22/36, 23/36) koşula uygun 5 tane sayı yazılabilir.
Örnek soru:
0,0039/0,13=39/10000/13/100
=39/10000.39/13=3/100=0,03
örnek soru:
x pozitif bir ondalık sayıdır.x+1/20 bir tamsayı olduğuna göre, x in virgülden sonraki kısmı nedir?
Çözüm:
X+1/20
X+0,05=1,00
↓
0,95+0,05=1,00
öyleyse x in virgülden sonraki kısmı 0,95 olur.
Örnek soru:
1,2,3,4,5 rakamlarının ikisinden oluşturulan iki basamaklı bir sayı pay, öteki ikisinden oluşturulan iki basamaklı bir sayıda payda olmak üzere, elde edilebilecek kesirlerden en küçüğünün yaklaşık değeri nedir?
Çözüm:
Sayımız 23/54 ≡ 0,43 bulunur.
Örnek soru:
Bir sayıyı 0,25 ile çapmak, bu sayıyı kaça bölmektir?
Çözüm:
A. 0,25
A. 25/100=A.1/4=A/4
Bir sayıyı 0,25 ile çapmak bu sayıyı 4 e bölmek demektir.
Örnek soru:
A=11/10, B=101/100, C= 1001/1000, D= 10001/10000
Olduğuna göre, bu sayıları sıralayınız.
11/10(1000), 101/100(100), 1001/1000(10), 10001/10000(1)
11000/10000, 10100/10000, 10010/10000, 10001/10000
paydaları eşit olan pozitif kesirlerden payı büyük olan daha büyük olduğu için
a>b>c>d bulunur.
Örnek soru:
0,5161616... devirli (periyodik) ondalık sayısını rasyonel sayı biçiminde ifade ediniz.
Çözüm:
0,5161616...=0,516
=516-5/990=511/990
ÖRNEK SORU:
(2-1/2)+(1/2+2)/(3+4/3)-(3+1/3)
ÇÖZÜM:
(2-1/2)+(2+1/2)/(3+4/3)-(3+1/3)
=2+2/13-10=2/3=8/2.3/3=4 Bulunur.
Örnek soru:
Dört arkadaş bir tepsi baklavayı şekildeki gibi paylaşmışlardır.Aldıkları paylara göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A.Meral’in payı hakan’ın payından azdır.
B.AYŞE’NİN payı, ALİ’NİN payından fazladır.
C.AYŞE’nin payı, MERAL’in payına eşittir.
D.HAKAN’ın payı, AYŞE’nin payına eşittir.
Çözüm:
1/4(2) +3/8+1/8=2/8+3/8+1/8=6/8
Tamamı 8/8 dir.
Ayşe’nin payı 8/8-6/8=2/8=1/4 bulunur.Öyleyse Meral’in payı Ayşe’nin payına eşit olur.
Örnek SORU:
3/2:2/2-2/2:2/3 İşleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
3/2.1/2-2/1.3/2
3/4(1)3/1(4)=3-12/4
=-9/4 bulunur.
Örnek soru
A=6/7,b=10/11,c=12/5 sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı nedir?
Çözüm:
Payı paydasından büyük olan pozitif kesirler 1 den büyük, paydası payından büyük olan pozitif kesirler 1 den küçük olduğu için a ve b,1 den küçük, c,1 den büyüktür.
1.a ve b tamsayı, b ≠ 0 olsun. a/b ye rasyonel sayada kesir denir.
2.lal < lbl ise a/b basit kesir,
lal < lbl için 0 < |a/b| < 1 dir.
Lal ≥ lbl ise a/b bileşik kesir dir.
ÖRNEK SORU 1:
5:X – 1 kesri bileşik kesir ise, x nedir?
ÇÖZÜM:
lx-l ≤ 5 ve x – 1 ≠ 0 olmalı
-5 ≤ x – 1 ≤ 5
-5+1 ≤ x-1 +1 ≤ 5+ 1
-4 ≤ x ≤ 6 ve x ≠ 1
3.a b/c ye tamsayılı kesir denir.
5 2/3-4 ¼=17/3-17/4=68-51/2
(4) (3)
=17/12 bulunur.
4.kesirlerde sadeleştirme ve genişleştirme yapılır.
2/3=2.5/3.5=10/55
=2(-3)/3(-3)=-6/-9=6/9
20/30=2.10/3.10=2/3
5.kesirler arasında toplama,çıkarma,çarpma,bölme işlemleri yapılır.toplama ve çıkarma işlemlerinde paydaların eşit olması gerekir.
Örnek soru:
1/2a(1)-/a(2)=1-2/2a=-1/2a=-1/2a=1/-2a
6.kesir problemlerinde önce parantez içi işlemler yapılır.Eğer parantez ok ise önce bölme, çarpma sonra toplama ve çıkarma işlemleri yapılır.
Örnek soru 3:
[3.(1 +5/3)]:1/7].(1/4+1/3)]:6 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 16 B) 49/9 C) 21 D) 16/3
Çözüm:
[3.(1+5/3):1/7.(1/4+1/3)]:6
[3.8/3:1/7.7:12]:6
[3.8/3.7/1.7/12]:6/1
8.49/12x1/6=49/9 bulunur.
Örnek soru 4:
1 ½.1/3-3/4:6/8+1/2 işleminin sonucu kaçtır?
A) 0 B) 1/12 C) 5/24 D) 1
ÇÖZÜM:
= ½.1/3-3/4:6/8+1/
=3/2.1/3-3/4.8/6+1/2
=1/2-1+1/2=0
7.Paydası 10, 100, 1000,... şeklinde kesirlere ondalık sayı denir.
A/10=0,a ab/10=a,b
8.Bazı kesirler ondalık sayıya çevrildiğinde virgülden sonrası düzenli olarak sonsuza kadar devam eder.Böyle sayılara devirli ondalık sayılar denir.
Örnek soru:
2/9 kesrini ondalık olarak yazarsak;
9.Devirli ondalık sayılar rasyonel sayıya çevrilirken aşağıdaki formül kullanılır.
Ab,cde=abcde-abcd/900 =sayının tamamı-devretmeyen sayı/virgülden sonra devreden kadar 9 virgülden sonra devretmeyen kadar 0
1.235=1235-12/990=1223/990
10. pozitif kesirler arasında sıralama yapılırken şu yollardan herhangi biri kullanılır.
a-) Paydaları eşitlenir, payı büyük olan büyüktür.
b-) Payları eşitlenir, paydası küçük olan büyüktür.
c-) Ondalık sayıya çevrilir.
d-) Pay ve payda arasındaki fark aynı ise basit kesirlerde payı büyük olan büyüktür. Bileşik kesirlerde ise payı küçük olan büyüktür.
(3/8<7/12)5 fark
(12/2>33/23)10 fark
11. Negatif kesirler sıralanırken önce pozitif gibi sıralanır, sonra sıralanma ters çevrilir.
Örnek-)
a=-1/2, b=-2/3, c=-3/5 ise a,b ve c yi sıralayınız.
Çözüm: 1/2 , 2/3, 3/5 sayılarını sıralayalım. Bu kesirlerin paylarını 6 da eşitlersek sırasıyla;
6/12, 6/9, 6/10 olur.
6/12<6/10<6/9 bulunur.1/2<3/5<2/3 sayılarını –1 ile çarparsak –1/2>-3/5>-2/3 a>c>b bulunur
12. Rasyonel sayılarda arada olma iki rasyonel sayı arasında sonsuz çoklukta rasyonel sayı vardır.
x<y için x ve y iki rasyonel sayı ise
x<x+y/2 <y olmak üzere
x+y/2 rasyonel sayıdır.
Örnek soru:
1<x<2 olacak biçimde her herhangi üç tane x rasyonel sayısı yazınız.
Çözüm:
1<x1<x2<x3<2 olsun.
x2=1+2/2=3/2
x1=(1+3/2).1/2=5/2.1/2=5/4
x3=(3/2+2).1/2=7/2.1/2=7/4
----------1-------x1--------x2---------x3----------2------------
5/4 3/2 7/4
örnek soru:
½ ile 2/3 rasyonel sayıları arasında ve paydası 36 olan kaç tane rasyonel sayı yazılabilir?
Çözüm:
1/2 =18/36 ve 2/3=24/36
(18) (12)
1/2<x<2/3 → 18/36<x<24/36
x ε (19/36, 20/36, 21/36, 22/36, 23/36) koşula uygun 5 tane sayı yazılabilir.
Örnek soru:
0,0039/0,13=39/10000/13/100
=39/10000.39/13=3/100=0,03
örnek soru:
x pozitif bir ondalık sayıdır.x+1/20 bir tamsayı olduğuna göre, x in virgülden sonraki kısmı nedir?
Çözüm:
X+1/20
X+0,05=1,00
↓
0,95+0,05=1,00
öyleyse x in virgülden sonraki kısmı 0,95 olur.
Örnek soru:
1,2,3,4,5 rakamlarının ikisinden oluşturulan iki basamaklı bir sayı pay, öteki ikisinden oluşturulan iki basamaklı bir sayıda payda olmak üzere, elde edilebilecek kesirlerden en küçüğünün yaklaşık değeri nedir?
Çözüm:
Sayımız 23/54 ≡ 0,43 bulunur.
Örnek soru:
Bir sayıyı 0,25 ile çapmak, bu sayıyı kaça bölmektir?
Çözüm:
A. 0,25
A. 25/100=A.1/4=A/4
Bir sayıyı 0,25 ile çapmak bu sayıyı 4 e bölmek demektir.
Örnek soru:
A=11/10, B=101/100, C= 1001/1000, D= 10001/10000
Olduğuna göre, bu sayıları sıralayınız.
11/10(1000), 101/100(100), 1001/1000(10), 10001/10000(1)
11000/10000, 10100/10000, 10010/10000, 10001/10000
paydaları eşit olan pozitif kesirlerden payı büyük olan daha büyük olduğu için
a>b>c>d bulunur.
Örnek soru:
0,5161616... devirli (periyodik) ondalık sayısını rasyonel sayı biçiminde ifade ediniz.
Çözüm:
0,5161616...=0,516
=516-5/990=511/990
ÖRNEK SORU:
(2-1/2)+(1/2+2)/(3+4/3)-(3+1/3)
ÇÖZÜM:
(2-1/2)+(2+1/2)/(3+4/3)-(3+1/3)
=2+2/13-10=2/3=8/2.3/3=4 Bulunur.
Örnek soru:
Dört arkadaş bir tepsi baklavayı şekildeki gibi paylaşmışlardır.Aldıkları paylara göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A.Meral’in payı hakan’ın payından azdır.
B.AYŞE’NİN payı, ALİ’NİN payından fazladır.
C.AYŞE’nin payı, MERAL’in payına eşittir.
D.HAKAN’ın payı, AYŞE’nin payına eşittir.
Çözüm:
1/4(2) +3/8+1/8=2/8+3/8+1/8=6/8
Tamamı 8/8 dir.
Ayşe’nin payı 8/8-6/8=2/8=1/4 bulunur.Öyleyse Meral’in payı Ayşe’nin payına eşit olur.
Örnek SORU:
3/2:2/2-2/2:2/3 İşleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
3/2.1/2-2/1.3/2
3/4(1)3/1(4)=3-12/4
=-9/4 bulunur.
Örnek soru
A=6/7,b=10/11,c=12/5 sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı nedir?
Çözüm:
Payı paydasından büyük olan pozitif kesirler 1 den büyük, paydası payından büyük olan pozitif kesirler 1 den küçük olduğu için a ve b,1 den küçük, c,1 den büyüktür.
