“Matematik p⇒q biçimli önermelerden oluşur, ama p doğru mudur diye asla sormazsınız.” Bertrand RUSSELL
Bir matematikçiye 2+2 kaç eder diye sormuşlar, matematikçi de düşünmüş ve şu cevabı vermiş: “1+1=2 ederse, 2+2 de 4 eder”
Russell’ın bu sözünü ilk duyduğumda aklıma nedense Öklit’in 5. postulatı geldi.
Bu postulata geçmeden önce ne olduğu konusunda fikrimiz olsun diye postulat nedir sorusunun cevabına bakalım:
İspata yönelik her bilim, konusunun ilkelerini oluşturan varsayımlarla işe başlar. Bu varsayımların bir bölümü tüm bilim alanları için ortak niteliktedir (aksiyom); diğerleri her alanın kendi konusuna özgü ilkelerdir (postulat).
Postulatlar, inceleme konusu nesneleri, bunlara ilişkin özellik ve ilişkileri belirleyen önermelerdir. Örneğin, geometride ‘nokta’ , ‘çizgi’ gibi nesneler varsayılmakta, ‘üçgen’, ‘daire’ gibi tanımlanan diğer nesneler, varsayılan nesnelere dayanılarak inşa edilmektedir.
Özetle
Bütün bu ayrımlara rağmen aksiyom ve postulatı kabaca “ispatsız kabul edilen bir önerme”(ii) olarak gören anlayışın da varlığını kabul etmek durumundayız.
Şimdi tekrar başa dönelim ve Öklid’e kulak verelim. Öklid 5. postulatında (meşhur adıyla paralellik postulatı) şöyle der.
“Eğer aynı düzlem üzerinde yer alan iki düz doğrunun her ikisi de bir üçüncü düz doğruyla kesişiyorsa ve eğer bir taraftaki iç açıların toplamı iki dik açıdan daha az ise, o zaman, açıların toplamının iki dik açıdan daha az olduğu tarafa, doğru yeterince uzatılırsa bu iki doğru kesişir.”
Ya da daha çok aşina olduğumuz şekliyle: “Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnız bir paralel doğru çizilebilir.”
Buna kim itiraz edebilir ki o kadar açık ve net ki. Tabi bakış açımızı genişlettiğimiz takdirde, daha geniş çerçeve de olaylara baktığımızda bu postulatın geçersiz olduğu ortamların var olduğunu görürüz.
p:”Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnız bir paralel doğru çizilebilir.”
O halde p önermemizi böyle kabul ettiğimizde bir anda kendimizi Öklid geometrisinin içinde bulmuş oluruz. Fakat p önermemizi değiştirdiğimiz takdirde ise yepyeni geometrilere kapı açmış oluruz.
Böylece Russell’ın sözünde ne demek istendiğine de belki de en geniş pencereden bakmış olduk.
Aşağıdaki tablo bize Öklid-dışı geometriler hakkında daha fazla bilgi verecektir.
Tablo(iii)
Uzayda bir grup insan olsa, matematiği biliyor olsalar ve anlaşabileceğimiz ortak bir dil geliştirme olanağına sahip olsak (ki olsa olsa bu dil matematik olur) ve onlara şöyle sorsak ” Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?”
Acaba nasıl cevap verirler. Bana öyle geliyor ki soruyu eğer böyle sorduysak hiç cevap vermezler!
Aykut ÇELİKEL
Kaynakça:
Bir matematikçiye 2+2 kaç eder diye sormuşlar, matematikçi de düşünmüş ve şu cevabı vermiş: “1+1=2 ederse, 2+2 de 4 eder”
Russell’ın bu sözünü ilk duyduğumda aklıma nedense Öklit’in 5. postulatı geldi.
Bu postulata geçmeden önce ne olduğu konusunda fikrimiz olsun diye postulat nedir sorusunun cevabına bakalım:
İspata yönelik her bilim, konusunun ilkelerini oluşturan varsayımlarla işe başlar. Bu varsayımların bir bölümü tüm bilim alanları için ortak niteliktedir (aksiyom); diğerleri her alanın kendi konusuna özgü ilkelerdir (postulat).
Postulatlar, inceleme konusu nesneleri, bunlara ilişkin özellik ve ilişkileri belirleyen önermelerdir. Örneğin, geometride ‘nokta’ , ‘çizgi’ gibi nesneler varsayılmakta, ‘üçgen’, ‘daire’ gibi tanımlanan diğer nesneler, varsayılan nesnelere dayanılarak inşa edilmektedir.
Özetle
- Aksiyom tüm alanlar için geçerli, doğruluğu apaçık bir önermedir. Örneğin “Aynı şeye eşit olan şeyler birbirine eşittir.”
- Postulat belli bir konu ya da inceleme alanına özgü, doğruluğu apaçık bir önermedir. Örneğin, “Bir çizgi dışındaki herhangi bir noktadan o çizgiye bir ve yalnız bir paralel çizgi vardır.”
- Aksiyom doğruluğu zorunlu bir önermedir; oysa postulat için zorunluluk söz konusu değildir. (i)
Bütün bu ayrımlara rağmen aksiyom ve postulatı kabaca “ispatsız kabul edilen bir önerme”(ii) olarak gören anlayışın da varlığını kabul etmek durumundayız.
Şimdi tekrar başa dönelim ve Öklid’e kulak verelim. Öklid 5. postulatında (meşhur adıyla paralellik postulatı) şöyle der.
“Eğer aynı düzlem üzerinde yer alan iki düz doğrunun her ikisi de bir üçüncü düz doğruyla kesişiyorsa ve eğer bir taraftaki iç açıların toplamı iki dik açıdan daha az ise, o zaman, açıların toplamının iki dik açıdan daha az olduğu tarafa, doğru yeterince uzatılırsa bu iki doğru kesişir.”
Ya da daha çok aşina olduğumuz şekliyle: “Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnız bir paralel doğru çizilebilir.”
Buna kim itiraz edebilir ki o kadar açık ve net ki. Tabi bakış açımızı genişlettiğimiz takdirde, daha geniş çerçeve de olaylara baktığımızda bu postulatın geçersiz olduğu ortamların var olduğunu görürüz.
p:”Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnız bir paralel doğru çizilebilir.”
O halde p önermemizi böyle kabul ettiğimizde bir anda kendimizi Öklid geometrisinin içinde bulmuş oluruz. Fakat p önermemizi değiştirdiğimiz takdirde ise yepyeni geometrilere kapı açmış oluruz.
Böylece Russell’ın sözünde ne demek istendiğine de belki de en geniş pencereden bakmış olduk.
Aşağıdaki tablo bize Öklid-dışı geometriler hakkında daha fazla bilgi verecektir.
| Öklid | Lobachevsky | Riemann | |
| İki farklı doğru, | En fazla bir noktada kesişir | En fazla bir noktada kesişir | Tek bir (eliptik) İki (iki katlı eliptik) noktada kesişir |
| Bir L doğrusu ve bu doğru üzerinde olmayan bir P noktası verildiğinde, P’den geçen ve L’ye paralel olan, | Bir ve ancak bir doğru çizilebilir | En az iki doğru çizilebilir. | Hiç bir doğru çizilemez |
| Bir doğru, üzerindeki bir nokta tarafından ikiye | ayrılır | ayrılır | ayrılmaz |
| Birbirine paralel iki doğru, | Eşit uzaklıktadır | Hiç bir zaman eşit uzaklıkta değildir | yoktur |
| Eğer bir doğru birbirine paralel iki doğrudan birini kesiyorsa, | Mutlaka diğerini de keser | Diğerini kesebilir ya da kesmeyebilir | – |
| Aynı doğruya paralel olan iki doğru | paraleldir | paraleldir | kesişir |
| Bir üçgenin iç açıları toplamı | 180 dereceye eşittir | 180 dereceden küçüktür | 180 dereceden büyüktür |
| Bir üçgensel bölgenin alanı, | İç açılarının toplamından bağımsızdır | İç açılarının toplamının 180 dereceden ne kadar küçük olduğuna bağlıdır | İç açılarının toplamının 180 dereceden ne kadar büyük olduğuna bağlıdır |
| Karşılıklı açıları eşit olan iki üçgen, | benzerdir | eştir | eştir |
Tablo(iii)
Uzayda bir grup insan olsa, matematiği biliyor olsalar ve anlaşabileceğimiz ortak bir dil geliştirme olanağına sahip olsak (ki olsa olsa bu dil matematik olur) ve onlara şöyle sorsak ” Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?”
Acaba nasıl cevap verirler. Bana öyle geliyor ki soruyu eğer böyle sorduysak hiç cevap vermezler!
Aykut ÇELİKEL
Kaynakça:
- Yıldırım, Cemal (2004). Matematiksel Düşünme. (İstanbul: Remzi Kitabevi)
- Matematik Terimleri Sözlüğü. (2009). (İstanbul: Türk dil kurumu yayınları)
- Davis P. J., Hersh R. Matematiğin Seyir Defteri. (çev. Ender Abadoğlu), (İstanbul: Doruk yayınları)
(
