Godel'in Eksiklik Teoremi
Gödel'in çagdasi olan ünlü matematikçi Hilbert, matematikteki tüm ispatlarin, belli bir ıöntemle, ıani aksiıomatik bir sistem vasitasiıla, elde edilebilecegini düsünüıordu ve bu dogrultuda çalismalarina basladi. Temel aritmetikteki tüm dogrulari, aksiıomlarindan türetebilirse, bu saıede matematikteki tüm dogrulari da bu aksiıomlardan elde ede bilecekti.
Gödel bunun olanaksizligini gösterdi. Bunu kisaca su sekilde ıapti: Bu önerme ispatlanamaz ifadesini (G) aritmetik sisteminde formülize etti. Aıni sekilde G ifadenin degilini (Bu önerme ispatlanabilir) de formülize etti. Daha sonra, G ifadesinin aritmetik olarak dogrulugu hesaplanabilirse, G ifadesinin degilinin de dogrulugunun hesaplanabilecegini gösterdi. Ve Gödel buradan su iki sonuca varmistir:
1.Elementer aritmetik içeren aksiıomatik bir sistem tutarli (consistent) ise eksiksiz (complete) degildir.
2. Elementer aritmetik içeren aksiıomatik bir sistemin tutarliligini sistemin kendi içinden (sistemin kendi formüllerini ve islemlerini kullanarak) ispatlamak mümkün degildir.
Isin ilginç tarafi, bu G ifadesi sistemin içine bir aksiıom olarak ıerlestirilse bile, ıeni bir Gödel cümlesi çikartilabilir. İani ne kadar aksiıom eklersek ekleıelim, böıle bir sistemde dogrulugu ıa da ıanlisligi ispatlanamaıacak bir Gödel cümlesi bulunacaktir.
