Forumlar
Yeni Mesajlar
CerezExtra
EĞLENCE ↓
Şans Kurabiyesi
Renk Falınız
ÇerezRADYO
Sevgiliye Özel
ÇerezDERGİ
Hızlı Okuma Testleri
Pratik Çözümler
Yeniler
Yeni Mesajlar
Yeni ürünler
Yeni kaynaklar
Son Aktiviteler
İndir
En son incelemeler
Dükkan
Giriş
Kayıt
Yeniler
Yeni Mesajlar
Menu
Giriş
Kayıt
Uygulamayı yükle
Yükle
Forumlar
Eğitim
BilgiBANK
Cauchy integral formülü
JavaScript devre dışı bırakıldı. Daha iyi bir deneyim için, devam etmeden önce lütfen tarayıcınızda JavaScript'i etkinleştirin.
You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.
You should upgrade or use an
alternative browser
.
Konuya cevap yaz
Mesaj
<blockquote data-quote="Suskun" data-source="post: 329404" data-attributes="member: 21093"><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"><img src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/tr/thumb/0/09/KarmasikKalintiOrnegi.png/548px-KarmasikKalintiOrnegi.png" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " style="" /></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"><span style="color: red">g(z) = z2 / (z2 + 2z + 2) fonksiyonunun mutlak değerinin yüzeyi ve yazıda açıklanan kontürlerle birlikte tekillikleri.</span></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"><span style="color: red">Matematikte, Augustin Louis Cauchy'nin ardından adlandırılan Cauchy integral formülü karmaşık analizde merkezi bir ifadedir. </span>Bir disk üzerinde tanımlanmış holomorf bir fonksiyonun tamamen, fonksiyonun disk sınırındaki değerleri tarafından belirlendiğini ifade eder. Ayrıca, holomorf bir fonksiyonun tüm türevleri için formül elde etmekte de kullanılabilir. Cauchy formülünün analitik önemi karmaşık analizde "türev alma integral almaya denktir" ifade etmesidir: Bu yüzden karmaşık türevlilik, integral alma gibi, gerçel analizde olmayan düzgün limitler altında iyi davranma özelliğine sahiptir.</span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"><span style="color: red"></span></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"><span style="color: red">Teorem</span></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"><span style="color: red"></span></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue">U, karmaşık düzlem C 'nin açık bir altkümesi olsun, f : U → C holomorf bir fonksiyon olsun ve D = { z : | z - z0| ≤ r} kapalı diski tamamen U 'nun içinde yer alsın. C kapalı diskin sınırını oluşturan çember olsun. O zaman, D 'nin içindeki her a noktasında kontür integralinin saat yönünün tersine alındığı</span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"><img src="http://upload.wikimedia.org/math/7/a/b/7ab6bb187c047fc4e4797cb9f6582d9f.png" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " style="" /></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue">ifadesi doğru olur.</span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue">Bu ifadenin kanıtı Cauchy integral teoremini kullanır ve benzer bir şekilde sadece f 'nin karmaşık türevliliğini gerektirir. Cauchy integral formülünde integrali alınan ifadenin paydasının (a - z0) değişkeninde kuvvet serisi açılabildiği için, holomorf fonksiyonlar analitiktir sonucu ortaya çıkar. Özellikle, f aslında</span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"><img src="http://upload.wikimedia.org/math/6/1/4/614957114b3b8140aa21480541d3e5d0.png" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " style="" /></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue">ile sonsuz kere türevlenebilirdir. Bu formüle bazen, Cauchy türev formülü de denilmektedir.</span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue">C çemberi a etrafında dolanım sayısı bir olan U içindeki herhangi bir kapalı doğrultulabilir eğri ile değiştirilebilir. Dahası, f 'nin yol tarafından çevrelenen açık bölgede holomorf olması ve kapanışında sürekli olması yeterlidir.</span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"><span style="color: red">Kanıt taslağı</span></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue">Cauchy integral teoremi kullanılarak, C (veya kapalı doğrultulabilir eğri) üzerinde alına integralin a etrafında alınan herhangi bir küçük çember üzerindeki integralle aynı olacağı gösterilebilir. f(z) sürekli olduğu için f(z) 'nin f(a) 'ya yakın olduğu küçük bir çember seçilebilir. Diğer taraftan, a merkezli herhangi bir C çemberi üzerindeki</span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"><img src="http://upload.wikimedia.org/math/f/f/7/ff7be4689c11e9015b8cc801f775bdaf.png" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " style="" /></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue">integrali 2πi 'ye eşittir. Bu integral 0 ≤ t ≤ 2π ise ve ε çemberin yarıçapıysa<img src="http://upload.wikimedia.org/math/2/3/3/233e3cac5cacc9c74339c9342a50f9bd.png" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " style="" />alınarak parametrizasyon yoluyla (Değişken değiştirme) hesaplanabilir.</span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue">ε → 0 alınarak ise istenilen tahmin</span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"><img src="http://upload.wikimedia.org/math/a/1/4/a147d55d1e2df6d5f71db07921f6baf0.png" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " style="" />elde edilir.</span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"><span style="color: red">Örnek</span></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue">|z| = 2 tarafından tanımlanan kontür (bu kontüre C denilsin) ve</span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"><img src="http://upload.wikimedia.org/math/7/c/0/7c08426ead131fdc1949d09bb3163d9f.png" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " style="" /></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue">ele alınsın.</span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue">g(z) 'nin kontür etrafındaki integralini bulmak için, g(z) 'nin tekilliklerinin bilinmesi gerekir. z1 = − 1 + i ve z2 = − 1 − i ise, g şu şekilde tekrar yazılabilir:</span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"><img src="http://upload.wikimedia.org/math/1/e/4/1e46ccaa01008eff32791b00850af20e.png" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " style="" /></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue">Kutupların ne olduğu açıktır, kutupların mutlak değeri 2'den küçüktür ve bu yüzden kontürün içinde yer alırlar ve formülün kullanımına uygundurlar. Cauchy-Goursat teoremi kullanılarak, bu kontür etrafındaki integral z1 ve z2 etrafında ayrı ayrı daha küçük çember kontürleri alınarak elde edilen integrallerin toplamı şeklinde yazılabilir. Bu küçük kontürler z1 ve z2 için sırasıyla C1 ve C2 olsun.</span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue">C1 etrafında f analitiktir (çünkü kontür diğer tekilliği içermez) ve bu bir f 'nin</span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"><img src="http://upload.wikimedia.org/math/4/8/1/481d67957d2fa324ce8a647cdf4137e3.png" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " style="" /></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue">formunda yazılmasına olanak verir. Şimdi</span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"><img src="http://upload.wikimedia.org/math/b/a/c/baca51d630ddeb4ab357958f96cf2d04.png" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " style="" /></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue">olur. Diğer kontür etrafında da benzer işlem yapılırsa</span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"><img src="http://upload.wikimedia.org/math/4/4/4/444fa50451b549faef970bfffa01070e.png" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " style="" /></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"><img src="http://upload.wikimedia.org/math/5/2/1/5211690b5136dfa520cd7df4ff0b1dc9.png" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " style="" /></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue">elde edilir.</span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'Comic Sans MS'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: blue"></span></span></span></p></blockquote><p></p>
[QUOTE="Suskun, post: 329404, member: 21093"] [FONT="Comic Sans MS"][SIZE=4][COLOR="blue"][IMG]http://upload.wikimedia.org/wikipedia/tr/thumb/0/09/KarmasikKalintiOrnegi.png/548px-KarmasikKalintiOrnegi.png[/IMG] [COLOR="red"]g(z) = z2 / (z2 + 2z + 2) fonksiyonunun mutlak değerinin yüzeyi ve yazıda açıklanan kontürlerle birlikte tekillikleri.[/COLOR] [COLOR="red"]Matematikte, Augustin Louis Cauchy'nin ardından adlandırılan Cauchy integral formülü karmaşık analizde merkezi bir ifadedir. [/COLOR]Bir disk üzerinde tanımlanmış holomorf bir fonksiyonun tamamen, fonksiyonun disk sınırındaki değerleri tarafından belirlendiğini ifade eder. Ayrıca, holomorf bir fonksiyonun tüm türevleri için formül elde etmekte de kullanılabilir. Cauchy formülünün analitik önemi karmaşık analizde "türev alma integral almaya denktir" ifade etmesidir: Bu yüzden karmaşık türevlilik, integral alma gibi, gerçel analizde olmayan düzgün limitler altında iyi davranma özelliğine sahiptir. [COLOR="red"] Teorem [/COLOR] U, karmaşık düzlem C 'nin açık bir altkümesi olsun, f : U → C holomorf bir fonksiyon olsun ve D = { z : | z - z0| ≤ r} kapalı diski tamamen U 'nun içinde yer alsın. C kapalı diskin sınırını oluşturan çember olsun. O zaman, D 'nin içindeki her a noktasında kontür integralinin saat yönünün tersine alındığı [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/7/a/b/7ab6bb187c047fc4e4797cb9f6582d9f.png[/IMG] ifadesi doğru olur. Bu ifadenin kanıtı Cauchy integral teoremini kullanır ve benzer bir şekilde sadece f 'nin karmaşık türevliliğini gerektirir. Cauchy integral formülünde integrali alınan ifadenin paydasının (a - z0) değişkeninde kuvvet serisi açılabildiği için, holomorf fonksiyonlar analitiktir sonucu ortaya çıkar. Özellikle, f aslında [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/6/1/4/614957114b3b8140aa21480541d3e5d0.png[/IMG] ile sonsuz kere türevlenebilirdir. Bu formüle bazen, Cauchy türev formülü de denilmektedir. C çemberi a etrafında dolanım sayısı bir olan U içindeki herhangi bir kapalı doğrultulabilir eğri ile değiştirilebilir. Dahası, f 'nin yol tarafından çevrelenen açık bölgede holomorf olması ve kapanışında sürekli olması yeterlidir. [COLOR="red"]Kanıt taslağı[/COLOR] Cauchy integral teoremi kullanılarak, C (veya kapalı doğrultulabilir eğri) üzerinde alına integralin a etrafında alınan herhangi bir küçük çember üzerindeki integralle aynı olacağı gösterilebilir. f(z) sürekli olduğu için f(z) 'nin f(a) 'ya yakın olduğu küçük bir çember seçilebilir. Diğer taraftan, a merkezli herhangi bir C çemberi üzerindeki [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/f/f/7/ff7be4689c11e9015b8cc801f775bdaf.png[/IMG] integrali 2πi 'ye eşittir. Bu integral 0 ≤ t ≤ 2π ise ve ε çemberin yarıçapıysa[IMG]http://upload.wikimedia.org/math/2/3/3/233e3cac5cacc9c74339c9342a50f9bd.png[/IMG]alınarak parametrizasyon yoluyla (Değişken değiştirme) hesaplanabilir. ε → 0 alınarak ise istenilen tahmin [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/a/1/4/a147d55d1e2df6d5f71db07921f6baf0.png[/IMG]elde edilir. [COLOR="red"]Örnek[/COLOR] |z| = 2 tarafından tanımlanan kontür (bu kontüre C denilsin) ve [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/7/c/0/7c08426ead131fdc1949d09bb3163d9f.png[/IMG] ele alınsın. g(z) 'nin kontür etrafındaki integralini bulmak için, g(z) 'nin tekilliklerinin bilinmesi gerekir. z1 = − 1 + i ve z2 = − 1 − i ise, g şu şekilde tekrar yazılabilir: [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/1/e/4/1e46ccaa01008eff32791b00850af20e.png[/IMG] Kutupların ne olduğu açıktır, kutupların mutlak değeri 2'den küçüktür ve bu yüzden kontürün içinde yer alırlar ve formülün kullanımına uygundurlar. Cauchy-Goursat teoremi kullanılarak, bu kontür etrafındaki integral z1 ve z2 etrafında ayrı ayrı daha küçük çember kontürleri alınarak elde edilen integrallerin toplamı şeklinde yazılabilir. Bu küçük kontürler z1 ve z2 için sırasıyla C1 ve C2 olsun. C1 etrafında f analitiktir (çünkü kontür diğer tekilliği içermez) ve bu bir f 'nin [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/4/8/1/481d67957d2fa324ce8a647cdf4137e3.png[/IMG] formunda yazılmasına olanak verir. Şimdi [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/b/a/c/baca51d630ddeb4ab357958f96cf2d04.png[/IMG] olur. Diğer kontür etrafında da benzer işlem yapılırsa [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/4/4/4/444fa50451b549faef970bfffa01070e.png[/IMG] [IMG]http://upload.wikimedia.org/math/5/2/1/5211690b5136dfa520cd7df4ff0b1dc9.png[/IMG] elde edilir. [/COLOR][/SIZE][/FONT] [/QUOTE]
Alıntıları ekle...
İsim
Spam kontrolü
Ülkemizin kuzeyindeki deniz hangisidir? (bitişik yazınız)
Cevapla
Forumlar
Eğitim
BilgiBANK
Cauchy integral formülü
Top