Asal Kök Nedir? Tanımı
Bir asal kök modülü n sayılar teorisindeki modüler aritmetikten bir kavramdır. Eğer
olan bir tamsayı ise, n formuna göre aralarında asal sayılar mod n'e göre çarpılarak, bir grup oluşturacak şekilde yapılan işlem,
veya
olarak gösterilir. Bir asal sayı için
ve
ise, bu grup ancak ve ancak
, veya
'ya denktir. Bu döngüsel grubun bir üreteci asal kök modülü n veya
'in bir asal elemanı'dır şeklinde tanımlanır.
Bir asal kök modülü n, diğer bir değişle, mod n'e göre g gibi öyle bir tamsayıdırki n'le beraber ortak çarpanı olmayan her tamsayı, g'nin bir kuvvetine denktir.
Örneğin
alalım.
'in elemanları
'ün denk sınıflarından oluşur.mod 14'e göre
olduğundan, 3 mod 14'e göre bir asal köktür. Mod 14 için diğer ve tek asal kök ise 5'tir.
nnk (mod 14) - (satırlardaki değerler döngüsel şarta bağlı olarak tekrardan sonra kesilmiştir) 1 : 1 ; 2: 2 , 4 , 83 : 3, 9, 13, 11, 5, 14 : 4, 2, 85 : 5, 11, 13, 9, 3, 16: 6, 87: 7,8 : 8, 9 : 9, 11, 110 : 10, 2, 6, 4, 12, 811 : 11, 9, 112 : 12, 4, 6, 2, 10, 813 : 13 : 13, 114 : 0, 14' le aralarında asal olan sayılar yalnızca kuvvetlerinden biri 1 (mod 14)'e ulaşan sayılardır. Bu sayıların oluşturduğu küme S = (1, 3, 9, 13, 11, 5)'dir.
Problemi f(n, k) = nk - 1 ≡ 0 (mod 14) gibi ele alırsak, n için tasarlanan köklerin k > 0 olan kuvvetleri için bir polinom sağladığını görürüz. S kümesindeki elemanların tümü, R = {3, 5} kümesindeki sayılardan ve onların kuvvetlerinden elde edilebilir. Ama örneğin 11'den ve onun kuvvetlerinden elde edilemez (mod 14 için). S kümesi tüm kökleri içerir. R kümesi ise asal kökleri içerir. Bunların (mod 14)'e göre tüm kuvvetleri döngüsel olarak tüm kökleri elde eder.
Bir asal kök modülü n sayılar teorisindeki modüler aritmetikten bir kavramdır. Eğer
Bir asal kök modülü n, diğer bir değişle, mod n'e göre g gibi öyle bir tamsayıdırki n'le beraber ortak çarpanı olmayan her tamsayı, g'nin bir kuvvetine denktir.
Örneğin
nnk (mod 14) - (satırlardaki değerler döngüsel şarta bağlı olarak tekrardan sonra kesilmiştir) 1 : 1 ; 2: 2 , 4 , 83 : 3, 9, 13, 11, 5, 14 : 4, 2, 85 : 5, 11, 13, 9, 3, 16: 6, 87: 7,8 : 8, 9 : 9, 11, 110 : 10, 2, 6, 4, 12, 811 : 11, 9, 112 : 12, 4, 6, 2, 10, 813 : 13 : 13, 114 : 0, 14' le aralarında asal olan sayılar yalnızca kuvvetlerinden biri 1 (mod 14)'e ulaşan sayılardır. Bu sayıların oluşturduğu küme S = (1, 3, 9, 13, 11, 5)'dir.
Problemi f(n, k) = nk - 1 ≡ 0 (mod 14) gibi ele alırsak, n için tasarlanan köklerin k > 0 olan kuvvetleri için bir polinom sağladığını görürüz. S kümesindeki elemanların tümü, R = {3, 5} kümesindeki sayılardan ve onların kuvvetlerinden elde edilebilir. Ama örneğin 11'den ve onun kuvvetlerinden elde edilemez (mod 14 için). S kümesi tüm kökleri içerir. R kümesi ise asal kökleri içerir. Bunların (mod 14)'e göre tüm kuvvetleri döngüsel olarak tüm kökleri elde eder.
