Forumlar
Yeni Mesajlar
CerezExtra
EĞLENCE ↓
Şans Kurabiyesi
Renk Falınız
ÇerezRADYO
Sevgiliye Özel
ÇerezDERGİ
Hızlı Okuma Testleri
Pratik Çözümler
Yeniler
Yeni Mesajlar
Yeni ürünler
Yeni kaynaklar
Son Aktiviteler
İndir
En son incelemeler
Dükkan
Giriş
Kayıt
Yeniler
Yeni Mesajlar
Menu
Giriş
Kayıt
Uygulamayı yükle
Yükle
Forumlar
Eğitim
BilgiBANK
Matematik & Geometri
Matematik konu Anlatımları
JavaScript devre dışı bırakıldı. Daha iyi bir deneyim için, devam etmeden önce lütfen tarayıcınızda JavaScript'i etkinleştirin.
You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.
You should upgrade or use an
alternative browser
.
Konuya cevap yaz
Mesaj
<blockquote data-quote="YoRuMSuZ" data-source="post: 328918" data-attributes="member: 1"><p><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></p><p><span style="font-size: 15px"><strong>İşlemler</strong></span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p style="text-align: center"><span style="font-size: 15px"><img src="http://i.imgur.com/chu5lDt.png" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " style="" /></p><p></span></p><p><span style="font-size: 15px"><strong>Kenarortay Bağıntıları</strong> </span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"><strong>1. Ağırlık Merkezi</strong></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">Üçgenlerde kenarortaylar bir noktada kesişirler.Kenarortayların kesişim noktasına ağırlık merkezi denir.</span></p><p> <span style="font-size: 15px">ABC üçgeninde [AD] [BE] ve [CF] kenarortaylarınınkesiştikleri G noktasına ABC üçgeninin ağırlık merkezi denir.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"><img src="http://i.imgur.com/R7CQ1an.gif" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " style="" /></span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">a. Ağırlık merkezi kenarortayı kenara 1 birim köşeye 2 birim olacak şekilde böler.</span></p><p> <span style="font-size: 15px">ABC üçgeninde D E F noktaları bulundukları kenarlarınorta noktaları ve G ağırlık merkezi ise eşitlikleri vardır.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"><img src="http://i.imgur.com/ehowing.gif" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " style="" /></span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">b. Bir üçgende iki kenarortayın kesişmesiyle oluşan nokta ağırlık merkezidir.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"><img src="http://i.imgur.com/IfEOi8q.gif" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " style="" /></span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">c. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve|AG| = 2|GD| olduğundan G noktası ağırlık merkezidir.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"><img src="http://i.imgur.com/cuECQJ8.gif" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " style="" /></span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">d. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |CG| = 2|FG|olduğundan G noktası ağırlık merkezidir.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"><img src="http://i.imgur.com/h49ri9z.gif" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " style="" /></span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">e. ABC üçgeninde|AG| = 2|GD| ve |CG| = 2|GF| </span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">eşitliğini sağlayan G noktası ABC</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">üçgeninin ağırlık merkezidir.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"><img src="http://i.imgur.com/m71PvSu.gif" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " style="" /></span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">2. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">ABC dik üçgeninde [BD] hipotenüse ait kenarortay </span></p><p><span style="font-size: 15px">|AG|=|DC|=|BD|</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"><img src="http://i.imgur.com/W4jqlB5.gif" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " style="" /></span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">3. Kenarortayların Böldüğü Alanlar</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">a.Kenarortaylar üçgenin alanını altı eşit parçaya bölerler.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"><img src="http://i.imgur.com/00nNdUB.gif" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " style="" /></span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">b.G ağırlık merkezi köşelere birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"><img src="http://i.imgur.com/9ei7YHN.gif" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " style="" /></span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></p><p><span style="font-size: 15px"><strong>Karmaşık Sayılar</strong></span></p><p> <span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px">ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0 Þ x² = -1 ) karesi 1 olan reel sayı yoktur.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px">Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız...</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"><strong> A. TANIM:</strong></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> a ve b birer reel sayı ve i = Ö-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px">C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve Ö-1 = i } dir.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">( i = Ö-1 Þ i² = -1 dir.)</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"><strong>Örnek:</strong></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px">Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 3i, Z3 = Ö3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">Z2 = 2 - 3i Þ Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">Z3 = Ö3 + i Þ Re(Z3) = Ö3 ve İm(Z3) = 1,</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">Z4 = 7 Þ Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0, </span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">Z5 = 10i Þ Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"><strong> </strong></span></p><p><span style="font-size: 15px"><strong>Örnek:</strong></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"><strong> </strong></span></p><p><span style="font-size: 15px"><strong>Çözüm:</strong></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px">Δ = b² - 4ac = ( -2) ² - 4.1.5 = -16 = 16.i²</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> X1,2 = -b ± ÖΔ = -(-2) ± Ö16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> 2a 2.1 2</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">Ç = { 1 2i, 1 + 2i } dir.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px"><strong>B. İ NİN KUVVETLERİ</strong></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px">iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, ...</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px">Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px">Buna göre , n Î N olmak üzere,</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> i4n = 1</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> i4n + 1 = i</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> i4n + 2 = -1</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> i4n + 3 = -i dir.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"><strong> Örnek: </strong></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> ( i14 + i15 + 1 ).( i99 + i100 1) işleminin sonucunu bulalım.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px"><strong>Çözüm: </strong></span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px">i14 = (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px">i15 = (i4)3.i3 = 13.(-i) = -i</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px">i99 = (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px">i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için,</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px">(i24 + i15 + 1).(i99 + i100 1) = (-1 i + 1).(-i + 1 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px"><strong>C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ</strong></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">Z2 = c + di } </span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"><strong> Örnek:</strong></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> Z1 = a + 3 + 2bi + 3i</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> Z 2 = 8 + (a + b)i</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"><strong> </strong></span></p><p><span style="font-size: 15px"><strong>Çözüm:</strong></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan,</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> a + 3 = 8 Þ a = 5 </span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> 2b + 3 = a + b Þ 2b + 3 = 5 + b Þ b = 2 dir.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"><strong>Örnek:</strong></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> Z1 = (a + b + 3) + (a 2)i</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> Z2 = 0</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> Z1 = Z2 olduğuna göre, a.b değerini bulalım.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"><strong>Çözüm:</strong></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px">Z1 = Z2 olduğundan,</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px">a 2 = 0 Þ a =2,</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px">a + b + 3 = 0 Þ 2 + b + 3 = 0 Þ b = -5 tir.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">O halde, a.b = 2.(-5) = -10 dur.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"><strong> D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ </strong></span></p><p><span style="font-size: 15px"> </span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir.</span></p><p><span style="font-size: 15px"> </span></p><p><span style="font-size: 15px"><strong>Örnek:</strong></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> </span></p><p><span style="font-size: 15px">1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i,</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> </span></p><p><span style="font-size: 15px">2) Z2 = Ö2 - Ö3i sayısının eşleniği Z2 = Ö2 + Ö3i,</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> </span></p><p><span style="font-size: 15px">3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i, </span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> </span></p><p><span style="font-size: 15px">4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12,</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> </span></p><p><span style="font-size: 15px">5) Z5 = Ö3 - Ö2 sayısının eşleniği Z5 = Ö3 - Ö2 dir.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"><strong> Örnek: </strong></span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">Z = a + bi olmak üzere,</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> </span></p><p><span style="font-size: 15px"> 3 . Z 1 = 2(4 i) </span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"><strong> Çözüm: </strong></span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> </span></p><p><span style="font-size: 15px"> 3 . Z 1 = 2(4 i)</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> 3 . (a bi) 1 = 8 2i</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> 3a 1 3bi = 8 2i</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">olduğundan, 3a 1 = 8 ve -3b = -2 dir.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">3a 1 = 8 Þ 3a = 9 Þ a = 3 ve</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">-3b = -2 Þ b = 2/3 tür. </span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">Not:</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> </span></p><p><span style="font-size: 15px">1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z )</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni </span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> </span></p><p><span style="font-size: 15px">karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m ni sayısıdır.</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px">E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM </span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">1) Toplama - Çıkarma </span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p> <span style="font-size: 15px">Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ).</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">Z1 = a + bi Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di )</span></p><p> <span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px"> </span></p><p><span style="font-size: 15px"></span></p><p><span style="font-size: 15px">Z2 = c + di Z1 Z2 = ( a c ) + ( b di )[/CF]</span>[CF][/cf]</p></blockquote><p></p>
[QUOTE="YoRuMSuZ, post: 328918, member: 1"] [SIZE=4][B] İşlemler[/B] [CENTER][IMG]http://i.imgur.com/chu5lDt.png[/IMG][/CENTER] [B]Kenarortay Bağıntıları[/B] [B]1. Ağırlık Merkezi[/B] Üçgenlerde kenarortaylar bir noktada kesişirler.Kenarortayların kesişim noktasına ağırlık merkezi denir. ABC üçgeninde [AD] [BE] ve [CF] kenarortaylarınınkesiştikleri G noktasına ABC üçgeninin ağırlık merkezi denir. [IMG]http://i.imgur.com/R7CQ1an.gif[/IMG] a. Ağırlık merkezi kenarortayı kenara 1 birim köşeye 2 birim olacak şekilde böler. ABC üçgeninde D E F noktaları bulundukları kenarlarınorta noktaları ve G ağırlık merkezi ise eşitlikleri vardır. [IMG]http://i.imgur.com/ehowing.gif[/IMG] b. Bir üçgende iki kenarortayın kesişmesiyle oluşan nokta ağırlık merkezidir. [IMG]http://i.imgur.com/IfEOi8q.gif[/IMG] c. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve|AG| = 2|GD| olduğundan G noktası ağırlık merkezidir. [IMG]http://i.imgur.com/cuECQJ8.gif[/IMG] d. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |CG| = 2|FG|olduğundan G noktası ağırlık merkezidir. [IMG]http://i.imgur.com/h49ri9z.gif[/IMG] e. ABC üçgeninde|AG| = 2|GD| ve |CG| = 2|GF| eşitliğini sağlayan G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir. [IMG]http://i.imgur.com/m71PvSu.gif[/IMG] 2. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir. ABC dik üçgeninde [BD] hipotenüse ait kenarortay |AG|=|DC|=|BD| [IMG]http://i.imgur.com/W4jqlB5.gif[/IMG] 3. Kenarortayların Böldüğü Alanlar a.Kenarortaylar üçgenin alanını altı eşit parçaya bölerler. [IMG]http://i.imgur.com/00nNdUB.gif[/IMG] b.G ağırlık merkezi köşelere birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür. [IMG]http://i.imgur.com/9ei7YHN.gif[/IMG] [B] Karmaşık Sayılar [/B] ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0 Þ x² = -1 ) karesi 1 olan reel sayı yoktur. Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız... [B] A. TANIM:[/B] a ve b birer reel sayı ve i = Ö-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir. C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve Ö-1 = i } dir. ( i = Ö-1 Þ i² = -1 dir.) z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir. [B]Örnek:[/B] Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 3i, Z3 = Ö3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır. Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür. Z2 = 2 - 3i Þ Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3, Z3 = Ö3 + i Þ Re(Z3) = Ö3 ve İm(Z3) = 1, Z4 = 7 Þ Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0, Z5 = 10i Þ Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur. [B] Örnek:[/B] x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım. [B] Çözüm:[/B] Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir. Δ = b² - 4ac = ( -2) ² - 4.1.5 = -16 = 16.i² X1,2 = -b ± ÖΔ = -(-2) ± Ö16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir. 2a 2.1 2 Ç = { 1 2i, 1 + 2i } dir. [B]B. İ NİN KUVVETLERİ[/B] iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, ... Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır. Buna göre , n Î N olmak üzere, i4n = 1 i4n + 1 = i i4n + 2 = -1 i4n + 3 = -i dir. [B] Örnek: [/B] ( i14 + i15 + 1 ).( i99 + i100 1) işleminin sonucunu bulalım. [B]Çözüm: [/B] i14 = (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1 i15 = (i4)3.i3 = 13.(-i) = -i i99 = (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için, (i24 + i15 + 1).(i99 + i100 1) = (-1 i + 1).(-i + 1 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir. [B]C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ[/B] Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir. Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir. Z2 = c + di } [B] Örnek:[/B] Z1 = a + 3 + 2bi + 3i Z 2 = 8 + (a + b)i Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım. [B] Çözüm:[/B] Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan, a + 3 = 8 Þ a = 5 2b + 3 = a + b Þ 2b + 3 = 5 + b Þ b = 2 dir. [B]Örnek:[/B] Z1 = (a + b + 3) + (a 2)i Z2 = 0 Z1 = Z2 olduğuna göre, a.b değerini bulalım. [B]Çözüm:[/B] Z1 = Z2 olduğundan, a 2 = 0 Þ a =2, a + b + 3 = 0 Þ 2 + b + 3 = 0 Þ b = -5 tir. O halde, a.b = 2.(-5) = -10 dur. [B] D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ [/B] Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir. [B]Örnek:[/B] 1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i, 2) Z2 = Ö2 - Ö3i sayısının eşleniği Z2 = Ö2 + Ö3i, 3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i, 4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12, 5) Z5 = Ö3 - Ö2 sayısının eşleniği Z5 = Ö3 - Ö2 dir. [B] Örnek: [/B] Z = a + bi olmak üzere, 3 . Z 1 = 2(4 i) olduğuna göre, a + b toplamını bulalım. [B] Çözüm: [/B] 3 . Z 1 = 2(4 i) 3 . (a bi) 1 = 8 2i 3a 1 3bi = 8 2i olduğundan, 3a 1 = 8 ve -3b = -2 dir. 3a 1 = 8 Þ 3a = 9 Þ a = 3 ve -3b = -2 Þ b = 2/3 tür. O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3 Not: 1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z ) 2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m ni sayısıdır. E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM 1) Toplama - Çıkarma Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ). Z1 = a + bi Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di ) Z2 = c + di Z1 Z2 = ( a c ) + ( b di )[/CF][/SIZE][CF][/cf] [/QUOTE]
Alıntıları ekle...
İsim
Spam kontrolü
Ülkemizin kuzeyindeki deniz hangisidir? (bitişik yazınız)
Cevapla
Forumlar
Eğitim
BilgiBANK
Matematik & Geometri
Matematik konu Anlatımları
Top